Tìm m để phương trình x4-(3m+5) x2+(m+1)2=0 có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.

Câu hỏi:

Tìm m để phương trình $x^4–(3m+5) x^2+{(m+1)}^2=0$ có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.

A. m=1

B. m=5

Đáp án chính xác

C. m=3/2

D. m=25/4

Trả lời:

Giả sử 4 nghiệm phân biệt của phương trình là x1,x2,x3,x4.
Đặt x2= y ≥0, ta được phương trình y2-(3m+5)y+(m+1)2=0(1)
Ta phải tìm m sao cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < y1 < y2.
Khi đó thì (1) có bốn nghiệm là:$x_1=– \sqrt{y_2}; x_2=– \sqrt{y_1}; x_3= \sqrt{y_1}; x_4= \sqrt{y_2}$ 
Theo đầu bài bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng, nên x3+x1=2×2 và x4+x2=2×3

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (1). Ta có hệ:
$\left\{\begin{array}{l}\Delta ={\left(3m+5\right)}^2-4{\left(m+1\right)}^2>0\\ S=3m+5>0\\ P={\left(m+1\right)}^2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5m^2+22m+21>0\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>-\frac{7}{5}\\ m<-3\end{array}\right.\\ m>\frac{-5}{3}\\ m\ne -1\end{array}\right.$
$\Rightarrow m>-\frac{7}{5}$ và $m\ne -1$
Thay  $9y_1=y_2$vào định lí Viet $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+y_2=3m+5\\ y_1.y_2={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.$
           
Thay (*) vào hệ trên ta được : $\left\{\begin{array}{l}{y}_1+9y_1=3m+5\\ y_1.9y_1={\left(m+1\right)}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{y}_1= \frac{3m + 5}{10} \left(1\right)\hspace{0.17em}\\ 3y_1= \left|m +\hspace{0.17em}1\right| \left(2\right)\end{array}\right.$
Thay (1) vào (2) ta được:
 $3.\frac{3m + 5}{10}= \left|m+\hspace{0.17em}1\right|\Rightarrow 9m \hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}15 = 10.\left|m+\hspace{0.17em}1\right|\Rightarrow 81m^2+\hspace{0.17em}270m +\hspace{0.17em}225 = 100m^2+\hspace{0.17em}200m +100\hspace{0.17em}$
 $\iff 19m^2-70m-125=0$$\iff \left[\begin{array}{l}m=5\\ m=-\frac{25}{19}\end{array}\right.$           
Chọn B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?

   A. $u_n=5n+3, n\ge 1$

   B. $u_n=4+3^n, n\ge 1$

   C. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ u_{n+1}=7u_n, n\ge 1\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   D. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}={u^2}_n, n\ge 1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Đáp án là C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho cấp số nhân (un) có u1=5; u2 = 8. Tìm u4
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số nhân$\left(u_n\right) có u_1=5; u_2 = 8$. Tìm u4

   A. 512/25

   Đáp án chính xác

   B. 125/512

   C. 625/512

   D. 512/125

   Trả lời:

   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư bằng 6. Tính tổng của cấp số nhân đó?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với công bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3, số hạng thứ tư bằng 6. Tính tổng của cấp số nhân đó?

   A. $9–21\sqrt{2}$

   B. $\frac{1}{2}\left(18–21\sqrt{2}\right)$

   C. $\frac{1}{2}\left(18+21\sqrt{2}\right)$

   Đáp án chính xác

   D. $9+21\sqrt{2}$

   Trả lời:

   Kí hiệu u1,u2,u3,u4,u5 là các số hạng của cấp số nhân
   Ta có :
   $\left\{\begin{array}{l}{u}_2= 3\\ u_4 = 6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1.q= 3 \left(1\right)\\ u_1.q^3 = 6 \left(2\right)\end{array}\right.$
   Lấy (2) chia (1)
   
   
   
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC cân tại A, có đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, có đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

   A. $\sqrt{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$

   B. $\frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+1}$

   C. $\frac{1}{2}\sqrt{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$

   Đáp án chính xác

   D. $\sqrt{2}+1$

   Trả lời:

   Theo giả thiết AB=AC, BC,AH,AB lập thành cấp số nhân nên ta có hệ:
   
   Suy ra: 2cotC =sinB
   Mà tam  giác ABC cân tại A nên $\hat{B}= \hat{C}$
   Từ đó ta có kết quả sau: 2cotC = sinC ⇔ 2cosC =sin2C = 1-cos2C
   ⇔ cos2C + 2cosC -1 =0 ⇒cosC = -1 +√2 (0° < C < 90°)
   Do C là góc nhọn nên :
   
   Cho nên công bội của cấp số nhân là:
   
   Đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm các số (x,y) biết y &lt; 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số x+5/3, y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số (x,y) biết y < 0 và các số x+6y, 5x+2y, 8x+y theo thứ tự lập thành cấp số cộng đồng thời các số x+5/3, y -1, 2x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

   A. (3, -1)

   B. (-3, -1)

   Đáp án chính xác

   C. (-1,-3)

   D. (-1,3)

   Trả lời:

   Ta có hệ phương trình:
   
   $\iff \left\{\begin{array}{l}9x+\hspace{0.17em}7y= 10x + 4y\\ 2x^2– 3xy+\hspace{0.17em}\frac{10}{3}x– 5y= y^2– 2y +\hspace{0.17em}1\end{array}\right.$
   Từ đó ta suy ra
   
   Thế (1) vào (2) ta được: $2. {\left(3y\right)}^2– y^2– 3.3y.y+\hspace{0.17em}\frac{10}{3}.3y– 3y–1= 0$
   $\iff$8y2+ 7y – 1=0⇒ y = -1 hoặc y=1/8
   Do y < 0 , ta được y = -1, x = -3
   Đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====