Vở bài tập Toán 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác: cạnh – góc – cạnh

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 82 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng ……. của tam giác kia thì hai tam giác đó …….

– Nếu AB = A’B’, $\hat{A}=\widehat{A‘}$ và AC = A’C’ thì ∆ABC = ……. (c.g.c) (Hình 32)

Lời giải:

i- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

– Nếu AB = A’B’, $\hat{A}=\widehat{A‘}$ và AC = A’C’ thì ∆ABC = ∆A’B’C’ (c.g.c) (Hình 32)

Câu 2 trang 82 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng ………… của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Lời giải:

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 83 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thoả mãn OM = 2 cm, ON = 3 cm. Hai điểm P, Q thuộc tia Oy thoả mãn OP = 2 cm, OQ = 3 cm. Chứng minh MQ = NP (Hình 33).

Lời giải:

Xét hai tam giác OMQ và OPN, ta có:

OM = OP (cùng bằng 2 cm); $\hat{O}$ là góc chung;

OQ = ON (cùng bằng 3 cm)

Suy ra ∆OMQ = ∆OPN (c.g.c).

Do đó MQ = PN (hai cạnh tương ứng).

Câu 2 trang 83 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thoả mãn OM = ON, điểm P khác O và thuộc Oz. Chứng minh MP = NP (Hình 34)

Lời giải:

Xét hai tam giác OMP và ONP, ta có:

OM = ON (giả thiết);

$\widehat{\mathrm{MOP}}$= $\widehat{\mathrm{NOP}}$(vì Oz là tia phân giác của góc xOy);

OP là cạnh chung

Suy ra ∆OMP = ∆ONP (c.g.c).

Do đó MP = NP (hai cạnh tương ứng).

III. Bài tập

• Câu 1 trang 83 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Chứng minh định lí “Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn” thông qua việc giải bài tập sau đây:

  Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thoả mãn AE = AB. Chứng minh:

  a) ∆ABD = ∆AED;

  b) $\hat{B}>\hat{C}.$

  Lời giải:

  

  a) Xét hai tam giác ABD và AED, ta có:

  AB = AE (giả thiết)

  $\widehat{\mathrm{DAB}}$= $\widehat{\mathrm{DAE}}$ (vì AD là tia phân giác góc $\widehat{\mathrm{BAC}}$)

  AD là cạnh chung

  Suy ra: ∆ABD = ∆AED (c.g.c)

  b) Từ câu a) suy ra $\hat{B}=\hat{E}$(1)

  Ta có: $\widehat{\mathrm{AED}}$+ $\widehat{\mathrm{DEC}}$ = 180^o (hai góc kề bù)

  $\widehat{\mathrm{EDC}}$+ $\hat{C}$+ $\widehat{\mathrm{DEC}}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

  Suy ra: $\widehat{\mathrm{AED}}$ = $\widehat{\mathrm{EDC}}$+ $\hat{C}$. Do đó $\widehat{\mathrm{AED}}$ > $\hat{C}$(2)

  Từ (1) và (2), ta có $\hat{B}$> $\hat{C}$.

• Câu 2 trang 84 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 36 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh:

  a) IA = IB

  b) IH là tia phân giác của góc AIB.

  

  Lời giải:

  a) Xét hai tam giác vuông ADI và BCI, ta có

  AD = BC, ID = IC (giả thiết).

  Suy ra ∆ADI = ∆BCI (hai cạnh góc vuông).

  Do đó IA = IB (hai cạnh tương ứng).

  b) Xét hai tam giác vuông AHI và BHI, ta có:

  IA = IB (theo chứng minh ở trên), IH là cạnh chung

  Suy ra ∆AHI = ∆BHI (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

  Do đó: $\widehat{\mathrm{AIH}}$= $\widehat{\mathrm{BIH}}$(hai góc tương ứng).

  Vì tia IH nằm trong góc $\widehat{\mathrm{AIB}}$ và $\widehat{\mathrm{AIH}}$= $\widehat{\mathrm{BIH}}$nên tia IH là tia phân giác của góc AIB.

• Câu 3 trang 85 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Có hai xã cùng ở bên bờ sông Lam các kỹ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí cây cầu như sau Hình 37

  

  – Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam.

  – Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC.

  – Nối C với B, CB cắt đường thẳng d tại E.

  Khí đó, E là vị trí của cây cầu.

  Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì MA + MB > EA + EB. Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai? Vì sao?

  Lời giải:

  Xét hai tam giác vuông EHA và EHC, ta có:

  HA = HC (giả thiết), HE là cạnh chung.

  Suy ra ∆EHA = ∆EHC (hai cạnh góc vuông).

  Do đó EA = EC (hai cạnh tương ứng). Vì thế EA + EB = EC + EB = BC (1)

  Chứng minh tương tự, ta có MA = MC. Vì thế MA + MB = MC + MB (2)

  Xét tam giác MBC, ta có MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3)

  Từ (1), (2) và (3) ta có: MA + MB > EA + EB.

  Vậy Bạn Nam nói đúng.

• Câu 4 trang 86 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho ∆ABC và ∆MNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh

  a) AD = MQ;

  b) DE = QR.

  Lời giải:

  

  Vì ∆ABC = ∆MNP nên: BC = NP, AC = MP (hai cạnh tương ứng), $\hat{C}$= $\hat{P}$(hai góc tương ứng)

  a) Ta có D, Q lần lượt là trung điểm của BC và NP nên CD = $\frac{1}{2}$BC, PQ = $\frac{1}{2}$NP.

  Mà BC = BP nên CD = PQ.

  Xét hai tam giác ACD và MPQ, ta có AC = MP, $\hat{C}$ = $\hat{P}$, CD = PQ

  Suy ra ∆ACD = ∆MPQ (c.g.c). Do đó AD = MQ (hai cạnh tương ứng).

  b) Ta có E, R lần lượt là trung điểm của AC và MP nên CE = $\frac{1}{2}$AC, PR = $\frac{1}{2}$MP.

  Mà AC = MP nên CE = PR

  Xét hai tam giác ECD và RPQ, ta có: EC = PR, $\hat{C}$= $\hat{P}$, CD = PQ

  Suy ra, ∆ECD = ∆RPQ (c.gc). Do đó DE = QR (hai cạnh tương ứng).

• Câu 5 trang 86 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho Hình 39, có a // b, AB = BM, BC = MN. Chứng minh: AC = BN và AC // BN.

  

  Lời giải:

  Xét hai tam giác ABC và BMN, ta có:

  AB = MN (giả thiết).

  $\widehat{\mathrm{ABC}}$= $\widehat{\mathrm{BMN}}$ ( hai góc đồng vị)

  BC = MN (giải thiết)

  Suy ra ∆ABC = ∆BMN (c.g.c).

  Do đó:

  AC = BN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{\mathrm{BAC}}$= $\widehat{\mathrm{MBN}}$ (hai góc tương ứng).

  Lại có $\widehat{\mathrm{BAC}}$ và $\widehat{\mathrm{MBN}}$ là hai góc đồng vị, suy ra AC // BN.