Vở bài tập Toán 7 Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 3: Phép cộng, phép trừ đa thức một biến

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 47 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Để cộng hai đa thức một biến ( theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;

+ Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm. Khi cộng đa thức theo cột dọc, nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

– Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang; + Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) ( theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;

+ Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;

+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 48 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Lời giải:

Bạn Dũng viết chưa đúng vì đa thức Q(x) chưa được sắp xếp cùng theo số mũ giảm dần như đa thức P(x).

Sửa lại:

Câu 2 trang 49 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách: P(x) = 2x³ + $\frac{3}{2}$x² + 5x – 2; Q(x) = –8x³ + 4x² + 6 + 3x

Lời giải:

Cách 1: ( Cộng theo cột dọc):

Viết lại đa thức Q(x) = –8x³ + 4x² + 3x + 6.

$\begin{array}{c}+\underset{¯}{\begin{array}{c}P\left(x\right)=2x^3+\frac{3}{2}{x}^2+5x–2\\ Q\left(x\right)=–8x^3+4x^2+3x+6\end{array}}\\ P\left(x\right)+Q\left(x\right)=–6x^3+\frac{11}{2}{x}^2+8x+4\end{array}$

Cách 2 (Cộng theo hàng ngang):

P(x) + Q(x)

= (2x³ + $\frac{3}{2}$x² + 5x – 2) + (–8x³ + 4x² + 6 + 3x)

= 2x³ + $\frac{3}{2}$x² + 5x – 2 – 8x³ + 4x² + 6 + 3x

= (2 – 8)x³ + ($\frac{3}{2}$ + 4)x² + (5 + 3)x + (– 2 + 6)

= –6x³ + $\frac{11}{2}$x² + 8x + 4.

Câu 3 trang 50 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Cho hai đa thức P(x) = 2x² – 5x – $\frac{1}{3}$; Q(x) = – 6x⁴ + 5x² + $\frac{2}{3}$ + 3x. Tính hiệu P(x) – Q(x).

Lời giải:

P(x) – Q(x)

= (2x² – 5x – $\frac{1}{3}$) – (– 6x⁴ + 5x² + 3x + $\frac{2}{3}$)

= 2x² – 5x – $\frac{1}{3}$ + 6x⁴ – 5x² – 3x – $\frac{2}{3}$

= 6x⁴ + (2 – 5)x² + (–5 – 3)x – $\frac{1}{3}$ – $\frac{2}{3}$

= 6x⁴ – 3x² – 8x – 1

Câu 4 trang 50 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Tính hiệu P(x) – Q(x) bằng hai cách, trong đó:

P(x) = 6x³ + 8x² + 5x – 2;

Q(x) = –9x³ + 6x² + 3 + 2x

Lời giải:

Cách 1 ( Trừ theo cột dọc):

Viết lại đa thức Q(x) = –9x³ + 6x² + 2x + 3

$\begin{array}{c}–\underset{¯}{\begin{array}{c}P\left(x\right)=6x^3+8x^2+5x–2\\ Q\left(x\right)=–9x^3+6x^2+2x+3\end{array}}\\ P\left(x\right)+Q\left(x\right)=15x^3+2x^2+3x–5\end{array}$

Cách 2 ( Trừ theo hàng ngang):

P(x) – Q(x)

= ( 6x³ + 8x² + 5x – 2) – ( –9x³ + 6x² + 3 + 2x)

= 6x³ + 8x² + 5x – 2 + 9x³ – 6x² – 3 – 2x

= ( 6 + 9 )x³ + ( 8 – 6)x² + ( 5 – 2)x + ( – 2 – 3)

= 15x³ + 2x² + 3x – 5.

III. Bài tập

• Câu 1 trang 50 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đa thức: R(x) = –8x⁴ + 6x³ + 2x² – 5x + 1 và S(x) = x⁴ + 8x³ + 2x + 3. Tính:

  a) R(x) + S(x);

  b) R(x) – S(x).

  Hướng dẫn giải

  a) R(x) + S(x)

  = ( –8x⁴ + 6x³ + 2x² – 5x + 1) + (x⁴ + 8x³ + 2x + 3 )

  = –8x⁴ + 6x³ + 2x² – 5x + 1 + x⁴ + 8x³ + 2x + 3.

  = ( 1 – 8 )x⁴ + ( 6 + 8 )x³ + 2x² + ( 2 – 5 )x + 1 + 3

  = –7x⁴ + 14x³ + 2x² – 3x + 4

  b) R(x) – S(x)

  = ( –8x⁴ + 6x³ + 2x² – 5x + 1) – (x⁴ + 8x³ + 2x + 3 )

  = –8x⁴ + 6x³ + 2x² – 5x + 1 – x⁴ – 8x³ – 2x – 3

  = ( –8 – 1)x⁴ + ( 6 – 8)x³ + 2x² + ( –5 – 2 )x + 1 – 3

  = –9x⁴ – 2x³ + 2x² – 7x – 2.

• Câu 2 trang 51 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

  A(x) = –8x⁵ + 6x⁴ + 2x² – 5x + 1 và B(x) = 8x⁵ + 8x³ + 2x – 3

  Lời giải:

  – Ta có: A(x) + B(x) = –8x⁵ + 6x⁴ + 2x² – 5x + 1 + 8x⁵ + 8x³ + 2x – 3

  = ( –8 + 8)x⁵ + 6x⁴ + 8x³ + 2x² + (2 – 5)x + 1 – 3

  = 6x⁴ + 8x³ + 2x² – 3x – 2.

  Bậc của A(x) + B(x) là: 4

  – Ta có: A(x) – B(x)

  = (–8x⁵ + 6x⁴ + 2x² – 5x + 1) – ( 8x⁵ + 8x³ + 2x – 3 )

  = –8x⁵ + 6x⁴ + 2x² – 5x + 1 – 8x⁵ – 8x³ – 2x + 3

  = ( –8 – 8) x⁵ + 6x⁴ – 8x³ + 2x² + (–5 – 2)x + 1 + 3

  = –16x⁵ + 6x⁴ – 8x³ + 2x² – 7x + 4

  Bậc của A(x) – B(x) là 5.

• Câu 3 trang 51 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ nhất 90 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất x%/ năm. Bác Ngọc gửi ngân hàng thứ hai 80 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất (x + 1,5)%/ năm. Hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi là bao nhiêu:

  a) Ở ngân hàng thứ hai?

  b) Ở cả hai ngân hàng?

  Lời giải:

  a) Hết kì hạn một năm, bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ hai là:

  P(x) = 80 + 80.( x + 1,5 )% = 80x% + 80 + 80.1,5% = 0,8x + 81,2 ( triệu đồng).

  b) Hết kì hạn một năm, bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ nhất là:

  Q(x) = 90 + 90.x% = 0,9x + 90 (triệu đồng).

  Hết kì hạn một năm, bác Ngọc có được cả gốc lẫn lãi ở cả hai ngân hàng là:

  P(x) + Q(x) = (0,8x + 81,2) + (0,9x + 90) = (0,8 + 0,9)x + 81,2 + 90 = 1,7x + 171,2 (triệu đồng).

• Câu 4 trang 52 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Người ra rót nước từ một can đựng 10 lít nước sang một bình rỗng có dạng hình lập phương với độ dài cạnh 20 cm. Khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước trong can còn lại là bao nhiêu? Biết rằng 1 lít = 1 dm².

  

  Lời giải:

  Khi mực nước trong bể cao h (cm) thì thể tích nước có trong bể là:

  20.20.h = 400h (cm³) = 0,4h (dm³ ) = 0,4h lít.

  Thể tích nước trong can lúc đó còn lại là: 10 – 0,4h ( lít ).

• Câu 5 trang 52 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Bạn Minh cho rằng “ Tổng của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Bạn Quân cho rằng “ Hiệu của hai đa thức bậc bốn luôn luôn là đa thức bậc bốn”. Hai bạn Minh và Quân nói như vậy có đúng không? Giải thích vì sao?

  Lời giải:

  – Ta có hai đa thức bậc bốn: P(x) = 6x⁴ + 2x² và Q(x) = –6x⁴ + 8x³ + 2x – 3

  Tổng của hai đa thức bậc bốn trên là: P(x) + Q(x) = 6x⁴ + 2x² + (–6x⁴ + 8x³ + 2x – 3) = 8x³ + 2x² + 2x – 3

  Như vậy tổng P(x) + Q(x) là một đa thức bậc ba. Bạn Minh nói sai.

  – Ta có hai đa thức bậc bốn: P(x) = 6x⁴ + 2x² và Q(x) = 6x⁴ + 8x³ + 2x – 3

  Hiệu của hai đa thức bậc bốn trên là: P(x) – Q(x) = ( 6x⁴ + 2x² ) – ( 6x⁴ + 8x³ + 2x – 3) = – 8x³ + 2x² – 2x + 3

  Như vậy hiệu P(x) – Q(x) là một đa thức bậc ba. Bạn Quân nói sai.

• Câu 6 trang 52 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Tính diện tích phần được tô đậm ở Hình 1 biết đường tròn nhỏ có bán kính là OA = 3 cm, đường tròn lớn có bán kính là OB = r cm. ( r > 3 cm).

  

  Lời giải:

  – Diện tích của hình tròn lớn là: πr² (cm²) – Diện tích của hình tròn nhỏ là: π.3² = 9π (cm²)

  – Diện tích của phần được tô đậm là: πr² – 9π ( cm²)