Sách bài tập Toán 7 Bài 8 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải SBT Toán lớp 7 Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải trang 63 Tập 2

Bài 1 trang 63 Tập 2: Trong Hình 7. Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm.

Trong Hình 7 Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm

Lời giải:

Trong Hình 7 Hãy chứng minh AC, EK và BD cùng đi qua một điểm

Gọi M là giao điểm của AC và BD.

Xét tam giác MAB có E là giao điểm của hai đường cao AD và BC nên E là trực tâm của tam giác MAB.

Khi đó ME là đường cao kẻ từ đỉnh M của tam giác AMB, tức là ME ⊥ AB.

Mà EK ⊥ AB.

Do đó EK đi qua điểm M.

Vậy AC, EK và BD cùng đi qua điểm M.

Bài 2 trang 63 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường trung tuyến AM. Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh d // BC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường trung tuyến AM

Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC nên BM = CM.

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

Cạnh AM là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên),

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó ΔAMB = ΔAMC (c.c.c).

Suy ra $\hat{A M B} = \hat{A M C}$ (hai góc tương ứng).

Lại có $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180 °$ (hai góc kề bù).

Nên $\hat{A M B} = \hat{A M C} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ .

Hay AM ⊥BC.

Mà d ⊥ AM (giả thiết).

Suy ra d // BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Vậy d // BC.

Bài 3 trang 63 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Vẽ hai đường cao AE và AF của hai tam giác ABC và ACD. Chứng minh góc EAF vuông.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AB = AD (vì A là trung điểm của BD).

Suy ra AC = AD = AB.

Xét ΔAEB và ΔAEC có:

$\hat{A E B} = \hat{A E C} (= 90 °)$ ,

Cạnh AE là cạnh chung,

AB = AC (chứng minh trên).

Do đó ΔAEB = ΔAEC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{B A E} = \hat{C A E}$ (hai góc tương ứng).

Xét ΔACF và ΔADF có:

$\hat{A F C} = \hat{A F D} (= 90 °)$ ,

Cạnh AF là cạnh chung,

AC = AD (chứng minh trên).

Do đó ΔAFC = ΔAFD (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{F A C} = \hat{F A D}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\hat{B A E} + \hat{C A E} + \hat{F A C} + \hat{F A D} = 180 °$

Mà $\hat{B A E} = \hat{C A E}$ , $\hat{F A C} = \hat{F A D}$ (chứng minh trên).

Suy ra $2 \hat{E A C} + 2 \hat{F A C} = 180 °$

Hay $2 (\hat{E A C} + \hat{F A C}) = 180 ° : 2 = 90 °$

Do đó $\hat{E A F} = 90 °$ .

Vậy góc EAF vuông.

Bài 4 trang 63 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 65 °, \hat{B} = 54 °$ . Vẽ trực tâm H của tam giác ABC. Tính góc AHB.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có góc A = 65 độ, góc B = 54 độ

Trong tam giác vuông ABE ta có: $\hat{E A B} + \hat{E B A} = 90 °$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\hat{E B A} = 54 °$ nên $\hat{E A B} = 90 ° - \hat{E B A} = 90 ° - 54 ° = 36 °$ .

Trong tam giác vuông BAF ta có: $\hat{FA B} + \hat{F B A} = 90 °$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Mà $\hat{F A B} = 65 °$ nên $\hat{F B A} = 90 ° - \hat{F A B} = 90 ° - 65 ° = 25 °$ .

Trong ∆AHB ta có: $\hat{H A B} + \hat{H B A} + \hat{A H B} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra

$\hat{A H B} = 180 ° - \hat{H A B} - \hat{H B A} = 180 ° - 36 ° - 25 ° = 119 °$ .

Vậy $\hat{A H B} = 119 ° .$

Bài 5 trang 63 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn và H là trực tâm. Cho biết $\hat{B H C} = 150 °$ . Tìm các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Vẽ hai đường cao BE và CF của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn và H là trực tâm

Trong ∆BHC có: $\hat{H C B} + \hat{H B C} + \hat{C H B} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra

$\hat{H B C} + \hat{H C B} = 180 - \hat{B H C} = 180 ° - 150 ° = 30 °$

Trong ∆CBE vuông tại E có: $\hat{E C B} + \hat{E B C} = 90 °$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\hat{E C B} = 90 ° - \hat{E B C}$ (1)

Trong ∆CBF vuông tại F có: $\hat{F C B} + \hat{F B C} = 90 °$ (trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Nên $\hat{F B C} = 90 ° - \hat{F C B}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$\hat{F B C} + \hat{E C B} = 180 ° - (\hat{E B C} + \hat{F C B})$

$= 180 ° - (\hat{H B C} + \hat{H C B}) = 180 ° - 30 ° = 150 ° .$

Hay $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 150 °$

Do tam giác ABC cân tại A nên ta có:

$\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{150 °}{2} = 75 °$ .

Trong ∆ABC có: $\hat{A C B} + \hat{A B C} + \hat{C A B} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra

$\hat{A} = 180 ° - \hat{A C B} - \hat{A B C} = 180 ° - 75 ° - 75 ° = 30 °$ .

Vậy $\hat{A B C} = \hat{A C B} = 75 °$ , $\hat{A} = 30 ° .$

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Làm quen với biến cố ngẫu nhiên

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy