Giải SGK Toán 7 Bài 28 (Kết nối tri thức): Phép chia đa thức một biến

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 28: Phép chia đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 40 Tập 2

1. Làm quen với phép chia đa thức

HĐ 1 trang 40 Toán lớp 7: Tìm thương của mỗi phép chia sau

a) 12x³ : 4x

b) (-2x⁴ ) : x⁴

c) 2x⁵ : 5x²

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Lời giải:

a) 12x³ : 4x = (12:4) . (x³ : x) = 3.x²

b) (-2x⁴ ) : x⁴ = [(-2) : 1] . (x⁴ : x⁴) = -2

c) 2x⁵ : 5x² = (2:5) . (x⁵ : x²) = $\frac{2}{5}$x³

HĐ 2 trang 40 Toán lớp 7: Giả sử x $\ne$0. Hãy cho biết:

a) Với điều kiện nào ( của hai số mũ) thì thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương?

b) Thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải:

$x^m:x^n=x^{m-n}$

Lời giải:

a) Do $x^m:x^n=x^{m-n}$ nên muốn thương hai lũy thừa của x cũng là một lũy thừa của x với số mũ nguyên dương, tức là m – n > 0 thì m > n

b) Ta có: $x^m:x^m=x^{m-m}=x^0=1$

Vậy thương hai lũy thừa của x cùng bậc bằng 1

Luyện tập 1 trang 40 Toán lớp 7: Thực hiện các phép chia sau:

$\begin{array}{l}a)3x^7:\frac{1}{2}{x}^4;\\ b)(-2x):x\\ c)0,25x^5:(-5x^2)\end{array}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Trả lời:

$\begin{array}{l}a)3x^7:\frac{1}{2}{x}^4=(3:\frac{1}{2}).(x^7:x^4)=6x^3\\ b)(-2x):x=[(-2):1].(x:x)=-2\\ c)0,25x^5:(-5x^2)=[0,25:(-5)].(x^5:x^2)=-0,05.x^3\end{array}$

Giải Toán 7 trang 41 Tập 2

2. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia hết

Câu hỏi trang 41 Toán lớp 7: Kiểm tra lại rằng ta có phép chia hết A : B = 2x² – 5x + 1, nghĩa là xảy ra A = B . (2x² – 5x + 1)

Phương pháp giải:

Nhân đa thức B với đa thức 2x² – 5x + 1. Nếu kết quả bằng đa thức A thì đúng

Lời giải:

Ta có: B . (2x² – 5x + 1)

= (x² – 4x – 3) . (2x² – 5x + 1)

= x² .(2x² – 5x + 1) – 4x . (2x² – 5x + 1) – 3.(2x² – 5x + 1)

= x² . 2x² + x² . (-5x) + x² . 1 – [4x . 2x² + 4x . (-5x) + 4x . 1] – [3.2x² + 3.(-5x) + 3.1]

= 2x⁴ – 5x³ + x² – ( 8x³ – 20x² + 4x) – (6x² – 15x + 3)

= 2x⁴ – 5x³ + x² – 8x³ + 20x² – 4x – 6x² + 15x – 3

= 2x⁴ + (-5x³ – 8x³) + (x² + 20x² – 6x² ) + (-4x + 15x) – 3

= 2x⁴ – 13x³ + 15x² + 11x – 3

=A

Vậy ta có phép chia hết A : B = 2x² – 5x + 1

Luyện tập 2 trang 41 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia

a) (-x⁶ + 5x⁴ – 2x³) : (0,5x²)

b) (9x² – 4) : (3x + 2)

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

a) (-x⁶ + 5x⁴ – 2x³) : (0,5x²)

= (-x⁶ : 0,5x²) + (5x⁴ : 0,5x²) + (-2x³ : 0,5x²)

= -2x⁴ + 10x² – 4x

b)

Vân dụng trang 41 Toán lớp 7: Vận dụng giải bài toán tròn tính huống mở đầu

Tìm đa thức P sao cho A = B. P, trong đó A = 2x⁴ – 3x³ – 3x² + 6x – 2 và B = x² – 2

Phương pháp giải:

+)  P = A : B

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

Ta có: A = B . P nên P = A : B

Giải Toán 7 trang 42 Tập 2

3. Chia đa thức cho đa thức, trường hợp chia có dư

HĐ 3 trang 42 Toán lớp 7: Hãy mô tả lại các bước đã thực hiện trong phép chia đa thức D cho đa thức E

Phương pháp giải:

Mô tả lại các bước tương tự như chia đa thức cho đa thức trường hợp chia hết.

Lời giải:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của D chia cho hạng tử bậc cao nhất của E.

Bước 2: Lấy D trừ đi tích của E với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của E

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích E với thương vừa thu được ở bước 3. Ta được dư thứ hai có bậc nhỏ hơn bậc của E thì quá trình chia kết thúc.

HĐ 4 trang 42 Toán lớp 7: Kí hiệu dư thứ hai là G = – 6x + 10 . Đa thức này có bậc bằng 1. Lúc này phép chia có thể tiếp tục được không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đa thức bậc n không chia được cho đa thức bậc m (n < m)

Lời giải:

Lúc này phép chia không thực hiện được nữa vì bậc của đa thức -6x + 10 (là 1) nhỏ hơn bậc của đa thức chia x2 + 1 (là 2)

HĐ 5 trang 42 Toán lớp 7: Hãy kiểm tra lại đẳng thức D = E . (5x – 3) + G

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức E .(5x – 3)

Bước 2: Thực hiện phép cộng đa thức tìm được ở bước 1 với đa thức G

Nếu kết quả = đa thức D thì đúng

Lời giải:

Ta có: E . (5x – 3) + G

= (x² + 1) . (5x – 3) + (-6x + 10)

= x² .(5x – 3) + 1. (5x – 3) + (-6x) + 10

= x² . 5x + x2 . (-3) + 5x – 3 – 6x + 10

= 5x³ – 3x² + (5x – 6x) + (-3 + 10)

= 5x³ – 3x² – x + 7

= D

Vậy đẳng thức đúng.

Luyện tập 3 trang 42 Toán lớp 7: Tìm dư R và thương Q trong phép chia đa thức A= 3x⁴ – 6x – 5 cho đa thức B = x² + 3x – 1 rồi viết A dưới dạng A = B . Q + R

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

+) Viết A = B. Q + R

Lời giải:

Vậy A = (x² + 3x – 1) . (3x² – 9x + 30)  -105x + 25

Thử thách nhỏ trang 42 Toán lớp 7: Em có biết tại sao Vuông làm nhanh thế không?

Phương pháp giải:

Xét phép chia (A + B) : C với bậc của B nhỏ hơn bậc của C

Nếu A chia C không dư thì số dư của (A + B) : C là B

Lời giải:

Ta có: x³ – 3x² + x – 1 =  (x³ – 3x²) + (x -1).

Vì x³ – 3x² chia cho x² – 3x không dư ; bậc của x – 1 nhỏ hơn bậc của x² – 3x nên số dư của phép chia (x³ – 3x²) + (x -1) cho x² – 3x là x – 1

Vậy Vuông làm nhanh và đúng.

Giải Toán 7 trang 43 Tập 2

Bài 7.30 trang 43 Toán lớp 7: Tính

a) 8x⁵ : 4x³

b) 120x⁷ : (-24x⁵)

c) $\frac{3}{4}(-x{)}^3:\frac{1}{8}x$

d) -3,72x⁴ : (-4x²)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia 2 hệ số

Bước 2: Chia 2 lũy thừa của biến

Bước 3: Nhân 2 kết quả trên, ta được thương

Lời giải:

a) 8x⁵ : 4x³ = (8 : 4) . (x⁵ : x³) = 2.x²

b) 120x⁷ : (-24x⁵) = [120 : (-24)] . (x⁷ : x⁵) = -5.x²

c) $\frac{3}{4}(-x{)}^3:\frac{1}{8}x=\frac{-3}{4}{x}^3:\frac{1}{8}x=\left(\frac{-3}{4}:\frac{1}{8}\right).(x^3:x)=-6x^2$

d) -3,72x⁴ : (-4x²) = [(-3,72) : (-4)] . (x⁴ : x²) = 0,93x²

Bài 7.31 trang 43 Toán lớp 7: Thực hiện các phép chia đa thức sau

a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x)

b) (-2x⁵ – 4x³ + 3x²) : 2x²

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi tổng các kết quả thu được.

Lời giải:

a) (-5x³ + 15x² + 18x) : (-5x)

= (-5x³) : (-5x) + 15x² : (-5x) + 18x : (-5x)

= [(-5): (-5)] . (x³ : x) + [15 : (-5)] . (x² : x) + [18 : (-5)]. (x : x)

=  x² – 3x – $\frac{18}{5}$

b) (-2x⁵ – 4x³ + 3x²) : 2x²

= (-2x⁵ : 2x²) + (-4x³ : 2x²) + (3x² : 2x²)

= [(-2) : 2] . (x⁵ : x²) + [(-4) : 2] . (x³ : x²) + (3 : 2) . (x² : x²)

= -x³ – 2x + $\frac{3}{2}$

Bài 7.32 trang 43 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia đa thức sau bằng cách đặt tính chia

a) (6x³ – 2x² – 9x + 3) : (3x – 1)

b) (4x⁴ + 14x³ – 21x – 9) : (2x² – 3)

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

Lời giải:

a)

b)

Bài 7.33 trang 43 Toán lớp 7: Thực hiện phép chia 0,5x⁵ + 3,2x³ – 2x² cho 0,25xⁿ  trong mỗi trường hợp sau:

a) n = 2

b) n = 3

Phương pháp giải:

Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi tổng các kết quả thu được.

Lời giải:

a) (0,5x⁵ + 3,2x³ – 2x² ) : 0,25x²

= 0,5x⁵ : 0,25x² + 3,2x³ : 0,25x² + (2x² : 0,25x²)

= (0,5:0,25).(x⁵ : x²) + (3,2 : 0,25). (x³ : x² ) + (2 : 0,25). (x² : x²)

= 2x³ + 12,8x + 4

b) (0,5x⁵ + 3,2x³ – 2x² ) : 0,25x³

Bài 7.34 trang 43 Toán lớp 7: Trong mỗi trường hợp sau đây, tìm thương Q(x) và dư R(x) trong phép chia F(x) cho G(x) rồi biểu diễn F(x) dưới dạng:

F(x) = G(x) . Q(x) + R(x)

a) F(x) = 6x⁴ – 3x³ + 15x² + 2x – 1 ; G(x) = 3x²

b) F(x) = 12x⁴ + 10x³ – x – 3 ; G(x) = 3x² + x + 1

Phương pháp giải:

+)  Muốn chia đa thức A cho đa thức B, ta làm như sau:

Bước 1: Đặt tính chia tương tự như chia hai số tự nhiên. Lấy hạng tử bậc cao nhất của A chia cho hạng tử bậc cao nhất của B.

Bước 2: Lấy A trừ đi tích của B với thương mới thu được ở bước 1

Bước 3: Lấy hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất chia cho hạng tử bậc cao nhất của B

Bước 4: Lấy dư thứ nhất trừ đi tích B với thương vừa thu được ở bước 3

Bước 5: Làm tương tự như trên

Đến khi dư cuối cùng có bậc nhỏ hơn bậc của B thì quá trình chia kết thúc.

+) Viết A = B. Q + R

Lời giải:

a)

Thương Q(x) = 2x² – x + 5

Dư R(x) = 2x – 1

Ta có: F(x) = 3x² . (2x² – x + 5) + 2x – 1

b)

Thương Q(x) = 4x² + 2x – 2

Dư R(x) = -x – 1

Ta có: F(x) = (3x² + x + 1) . (4x² + 2x – 2) – x – 1

Bài 7.35 trang 43 Toán lớp 7: Bạn Tâm lúng túng khi muốn tìm thương và dư trong phép chia đa thức 21x – 4 cho 3×2. Em có thể giúp bạn Tâm được không?

Phương pháp giải:

Khi đa thức bị chia có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia thì thương là 0, số dư là đa thức chia

Lời giải:

Chia đa thức 21x – 4 cho 3x² được thương là 0, dư 21x – 4

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Luyện tập chung trang 44

Bài tập cuối chương 7

Bài 29: Làm quen với biến cố