Phương pháp giải và bài tập về Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui

Tài liệu Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui gồm nội dung chính sau:

Phương pháp

–          Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui.

–          Gồm 4 bài tập tự luyện đa dạng có đáp án và lời giải chi tiết Cách chứng minh bốn điểm đồng phẳng và ba đường thẳng đồng qui.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

DẠNG 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

 

Phương pháp:

+ Để chứng minh bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng $a,b$ lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh $a,b$ song song hoặc cắt nhau, khi đó $A,B,C,D$ thuôc $mp\left(a,b\right)$.

 

+ Để chứng minh ba đường thẳng $a,b,c$ đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh $a,b,c$ lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng $\left(\alpha \right),\left(\beta \right),\left(\delta \right)$ trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được $a,b,c$ đồng qui.

 

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $M,N,P,Q,R,T$ lần lượt là trung điểm AC, $BD$, BC, CD, SA, SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?

A. $M,P,R,T.$                    B. $M,Q,T,R.$                    C. $M,N,R,T.$                   D. $P,Q,R,T.$  

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có $RT$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $RT\text{//}AD$.

$MQ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ nên $MQ\text{//}AD$.

Suy ra $RT\text{//}MQ$. Do đó $M,Q,R,T$ đồng phẳng.

 

 

 Câu 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một tứ giác lồi. Gọi $M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh bên $SA,SB,SC$ và $SD$.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. $ME,NF,SO$ đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD).

     B. $ME,NF,SO$ không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

     C. $ME,NF,SO$ đồng qui (O là giao điểm của AC và BD).

     D. $ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD).

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. Bốn điểm $M,N,E,F$ đồng phẳng.

     B. Bốn điểm $M,N,E,F$ không đồng phẳng.

     C. MN, EF chéo nhau      

     D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải:

a) Trong $\left(SAC\right)$ gọi $I=ME\cap SO$, dễ thấy $I$ là trung điểm của $SO$, suy ra $FI$ là đường trung bình của tam giác $SOD$.

Vậy $FI//OD$.

Tương tự ta có $NI\parallel OB$ nên $N,I,F$ thẳng hàng hay $I\in NF$.

Vậy minh $ME,NF,SO$ đồng qui.

b) Do $ME\cap NF=I$ nên $ME$ và $NF$ xác định một mặt phẳng. Suy ra $M,N,E,F$ đồng phẳng. 

 

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Gọi $M,N,E,F$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SBC,SCD$ và $SDA$. Chứng minh:

a) Bốn điểm $M,N,E,F$ đồng phẳng.

b) Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. Bốn điểm $M,N,E,F$ đồng phẳng.

     B. Bốn điểm $M,N,E,F$ không đồng phẳng.

     C. MN, EF chéo nhau      

     D. Cả A, B, C đều sai

 

b) Ba đường thẳng $ME,NF,SO$ đồng qui (O là giao điểm của AC và BD).

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

     A. $ME,NF,SO$ đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD).

     B. $ME,NF,SO$ không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD).

     C. $ME,NF,SO$ đồng qui (O là giao điểm của AC và BD).

     D. $ME,NF,SO$ đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $M‘,N‘,E‘,F‘$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Ta có $\frac{SM}{SM‘}=\frac{2}{3},\frac{SN}{SN‘}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{SM}{SM‘}=\frac{SN}{SN‘}$ $\Rightarrow MN\parallel M‘N‘\left(1\right)$. Tương tự $\frac{SE}{SE‘}=\frac{SF}{SF‘}\Rightarrow EF\parallel E‘F‘\left(2\right)$ Lại có   $\left\{\begin{array}{l}M‘N‘\parallel AC\\ E‘F‘\parallel AC\end{array}\right.\Rightarrow M‘N‘\parallel E‘F‘\left(3\right)$ Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ và $\left(3\right)$ suy ra $MN\parallel EF$. Vậy bốn điểm $M,N,E,F$ đồng phẳng.

b) Dễ thấy $M‘N‘E‘F‘$ cũng là hình bình hành và $O=M‘E‘\cap N‘F‘$.

Xét ba mặt phẳng $\left(M‘SE‘\right),\left(N‘SF‘\right)$ và $\left(MNEF\right)$ ta có :

$\left(M‘SE‘\right)\cap \left(N‘SF‘\right)=SO$

$\left(M‘SE‘\right)\cap \left(MNEF\right)=ME$

$\left(N‘SF‘\right)\cap \left(MNEF\right)=NF$

$ME\cap NF=I$.

Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng $ME,NF,SO$ đồng qui.

Xem thêm