Bài tập Toán 11 Chương 4 Bài 3: Hàm số liên tục – Toán 11
A. Bài tập Hàm số liên tục
I. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Chỉ (I) và (III).
QUẢNG CÁO
B. Chỉ (I) và (II).
C. Chỉ (I).
D. Chỉ (II)
Lời giải:
Chọn đáp án B
Bài 2: Cho hàm số . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x= 1.
A. k ≠ ±2.
B. k ≠ 2.
C. k ≠ -2.
QUẢNG CÁO
D. k ≠ ±1.
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 3: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x = 1
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại x = 1
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 4: Chọn giá trị f(0) để các hàm số liên tục tại điểm x= 0.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 5: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0 = 0
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm nhưg gián đoạn tại x0 = 0
C. Hàm số không liên tục tại x0 = 0
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Chọn đáp án A
Bài 6: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại x0 = 2
B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm
C. Hàm số không liên tục tại x0 = 2
D. Tất cả đều sai
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 7: Cho hàm số . Tìm m để f(x) liên tục trên [0; +∞) là.
A.
B.
C.
D. 1
Lời giải:
Chọn đáp án C
Bài 8: Cho hàm số . Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:
A. 1 và 2.
B. 1 và -1
C. -1 và 2.
D. 1 và -2
Lời giải:
Chọn đáp án D
Bài 9: Cho hàm số Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -2
B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0
C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0,5
D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2
Lời giải:
Hàm số đã cho không xác định tại x = 0, x = -2, x = 2 nên không liên tục tại các điểm đó. Hàm số liên tục tại x = 0,5 vì nó thuộc tập xác định của hàm phân thức f(x).
Chọn đáp án C
Bài 10: Cho với x ≠ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x=0?
Lời giải:
Chọn đáp án C
II. Bài tập tự luận có lời giải
Bài 1: Cho hàm số với x ≠ 2 . Giá trị của m để f(x) liên tục tại x =2 là:
Lời giải:
Bài 2: Cho hàm số . Tìm b để f(x) liên tục tại x = 3.
Lời giải:
Bài 3: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất.
Lời giải:
Bài 4: Cho phương trình (1) .Chọn khẳng định đúng?
A. Phương trình (1) có đúng một nghiệm trên khoảng (-1; 3).
B. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên khoảng (-1; 3).
C. Phương trình (1) có đúng ba nghiệm trên khoảng (-1; 3).
D. Phương trình (1) có đúng bốn nghiệm trên khoảng (-1; 3).
Lời giải:
Do đó phương trình có ít nhất 4 ngiệm thuộc khoảng (-1; 3).
Mặt khác phương trình bậc 4 có tối đa bốn nghiệm.
Vậy phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc khoảng (-1; 3).
Bài 5: Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (I) và (III)
D. Chỉ (II) và (III)
Lời giải:
Bài 6: Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x) = x3+2x-1 tại x0=3.
Lời giải:
Bài 7
b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x0=2.
Lời giải:
Bài 8:
a. Vẽ đồ thị hàm số y= f(x). Từ đó nêu nhận xét vê tính liên tục của hàm sso trên tập xác định của nó.
b. Khẳng định nhận xét trên bằng 1 chứng minh.
Lời giải:
a. Đồ thị hàm số (hình bên). Từ đồ thị ta thấy số gián đoạn tại x = -1.
Cho các hàm số và g(x) = tan(x) + sin(x)
Bài 9 Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm liên tục.
Lời giải:
Bài 10: Ý kiến sau đúng hay sai?
“Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g(x) không liên tục tại x0, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại x0“.
Lời giải:
Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x0 thì h(x) – f(x) = g(x) liên tục tại x0 (theo định lý 2 về hàm số liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại x0.
III. Bài tập vận dụng
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình:
a. 2x3 – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
b. cos x = x có nghiệm
Bài 2 Cho hàm số
a) Vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.
Bài 3 a. Xét tính liên tục của hàm số tại , biết
.
b. Trong biểu thức xác định ở trên, cần thay số bởi số nào để hàm số liên tục tại .
Bài 4 Cho hàm số và .
Bài 5 Ý kiến sau đúng hay sai ?
“Nếu hàm số liên tục tại điểm còn hàm số không liên tục tại thì
là một hàm số không liên tục tại ”
Bài 6 Chứng minh rằng phương trình:
a) có ít nhất hai nghiệm;
b) có nghiệm.
Bài 7 Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Bài 8 Cho hàm số . Tìm k để f(x) gián đoạn tại x= 1
Bài 9 Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng nhất
Bài 10 Chọn giá trị f(0) để các hàm số liên tục tại điểm x= 0.
B. LÝ THUYẾT HÀM SỐ LIÊN TỤC
I. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
QUẢNG CÁO
Định nghĩa 1
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại x0 = 2.
Giải
Hàm số đã cho xác định trên .
Do đó hàm số xác định trên khoảng chứa x0 = 2. Khi đó ta có:
.
Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại x0 = 2.
II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Định nghĩa 2
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Hàm số liên tục trên khoảng (a;b)
Hàm số không liên tục trên khoảng (a; b).
III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN
Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
Định lí 2
Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0. Khi đó:
a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x0;
b) Hàm số liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0.
Ví dụ 2. Cho hàm số trên tập xác định của nó.
Giải
Tập xác định
– Nếu x = 3, ta có f(3) = 4,
Do đó f(x) liên tục tại x = 3.
– Nếu thì là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng .
Vậy hàm số y = f(x) liên tục trên .
Định lí 3
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.
Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a, b).
Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x – 7 = 0 luôn có nghiệm.
Giải
Xét hàm f(x) = x5 – 3x – 7
Ta có: f(0) = – 7, f(2) = 19. Do đó f(0).f(2) = (-7).19 < 0.
Vì hàm số f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên . Do đó hàm số f(x) liên tục trên [0;2]. Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm .
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.