Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây
Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều
Chuyên đề : Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều
Một số kết quả thường gặp
– Cho n điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
\( \star \) Số đường thẳng đi qua 2 điểm: \(C_n^2 = \frac{{n(n – 1)}}{2}\).
\( \star \) Số vectơ khác \(\vec 0\) nối hai điểm bất kì: \(A_n^2\).
* Số tam giác tạo thành: \(C_n^3\).
* Nếu trong n điểm không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì số tứ diện được tạo thành: \(C_n^4\)
– Cho đa giác lồi n đỉnh:
* Số đường chéo của đa giác: \(C_n^2 – n\).
Giải thích :
Nối 2 điêm trong n đỉnh có \(C_n^2\) cách nối ( trong các cách nối này ta nối được cả cạnh và cả đường chéo)
Suy ra số đường chéo là : \(C_n^2 – n\)
* Nếu không có 3 đường chéo nào đồng qui thì số giao điểm giữa các đường chéo mà giao điểm nằm trong đa giác là \(C_n^4\).
Giải thích :
Cứ 1 tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác thì ta nhận thấy 2 đường chéo của đa giác sẽ cắt nhau tại 1 điểm nằm trong đa giác. Nên số giao điểm thỏa mãn yêu cầu bằng số tứ giác.
* Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác: \(C_n^3\).
*Số tam giác có đúng 1 cạnh của đa giác 2 cạnh còn lại là đường chéo: \(n(n – 4)\).
Giải thích:
Chọn 1 canh có n cách chọn
Chọn 1 điểm còn lại không kề với cạnh có n – 4 cách chọn
Nên số tam giác thỏa mãn yêu cầu là n(n – 4)
* Số tam giác có 2 cạnh của đa giác, 1 cạnh còn lại là đường chéo: n.
Giải thích :
Tại 1 đỉnh của đa giác có 1 tam giác như vậy, nên số tam giác thỏa mãn là n.
*Số tam giác có cạnh đều là các đường chéo của đa giác
Công thức \(1:C_n^3 – n(n – 4) – n\).
Giải thích :
Số tam giác cần tìm = Số tam giác bất kỳ – ( Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh đa giác + Số tam giác có 2 cạnh là cạnh đa giác)
Công thức \(2:\frac{n}{3}C_{n – 4}^2\).
Giải thích :
Chọn đỉnh thứ 1 có n cách
Chọn đỉnh thứ 2,3 không kề đỉnh thứ nhất và không kề nhau, nên giữa đỉnh số 1 và số 2 có x điêm, giữa đỉnh số 2 và số 3 có y điểm, giữa đỉnh số 3 và số 1 có z điểm và \(x + y + z = n – 3\) (với \(x,y,z \in \mathbb{N}*\) )
Số bộ (x,yz) thỏa mãn phương trình trên là : \(C_{n – 4}^2\)
Nên số tam giác được chọn là \(nC_{n – 4}^2\)
Mà mỗi trong số các tam giác này bị lạp 3 lân nên ta có số tam giác cần tìm là \(\frac{n}{3}C_{n – 4}^2\)
– Cho đa giác đều n đỉnh:
Trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác :
Số tam giác vuông :
*Khi n chẵn: số tam giác vuông là 4. \(C_{\frac{n}{2}}^2\).
\( \star \) Khi n lẻ: số tam giác vuông là 0 .
Giải thích :
Khi n chẵn số đường chéo đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều là \(\frac{n}{2}\), nên số hình chữ nhật là \(C_{\frac{n}{2}}^2\;,\) mà mỗi hình chữ nhật thì có 4 tam giác vuông. Nên số tam giác vuông thỏa mãn yêu cầu là 4.C \(C_{\frac{n}{2}}^2\)
Khi n lẻ thì không có đường chéo nào đi qua tâm. Nên số tam giác vuông là 0
Số tam giác tù:
\( \star \) Khi n chẵn: số tam giác tù là \(n \cdot C_{\frac{{n – 2}}{2}}^2\).
\( \star \) Khi n lẻ: số tam giác tù là \(n \cdot C_{\frac{{n – 1}}{2}}^2\).
Giải thích :
Khi n chẵn : Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ đi qua đỉnh đối diện, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh B, C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn đường kính \(A{A^\prime }\), trên nửa đường tròn ta có số điểm là \(\frac{{n – 2}}{2}\) nên số cách chọn 2 điểm là \(C_{\frac{{n – 2}}{2}}^2\). Do đó số tam giác tù là n. \(C_{\frac{{n – 2}}{2}}^2\)
Khi n lẻ: Chọn đỉnh A có n cách, khi đó đường kính đi qua đỉnh thứ nhất sẽ không đi qua đỉnh nào khác, để chọn được tam giác tù tại B thì 2 đỉnh B, C phải nằm cùng 1 nửa đường tròn đường kính \(A{A^\prime }\), trên nửa đường tròn ta có số điểm là \(\frac{{n – 1}}{2}\) nên số cách chọn 2 điểm là \(C_{\frac{{n – 1}}{2}}^2\).
Do đó số tam giác tù là n.C. \(\frac{{n – 1}}{2}\)
* Số tam giác nhọn = số tam giác – (số tam giác vuông + số tam giác tù)
– Cho đa giác đều 2 đỉnh \(n \ge 2\) :
Trong các tứ giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác :
* Số hình chữ nhật: \(C_n^2\).
\( \star \) Số tam giác vuông: 4. \(C_n^2\).
– Cho đa giác đều 3n đỉnh \(n \ge 1\) :
Trong các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác :
* Số tam giác đều : n
\( \star \) Số tam giác cân không đêu
\( \star \) Khi n chẵn : \(3n\left( {\frac{{3n – 2}}{2} – } \right.1)\)
\( \star \) Khi n lẻ : \(3n\left( {\frac{{3n – 1}}{2} – 1} \right)\)
Một số bài toán quen thuộc
Bài toán 1. Cho hai đường thẳng song song \({d_1},{d_2}\). Trên đường thẳng \({d_1}\) lấy 10 điểm phân biệt, trên \({d_2}\) lấy 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó được chọn từ 25 vừa nói trên.
A. 675 .
B. 1050 .
C. 1725 .
D. 2300 .
Lời giải
Cách 1 : Vì 3 đỉnh của một tam giác là 3 điểm không thẳng hàng nên ta có :
Số tam giác lập được thuộc vào một trong hai loại sau
Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào \({d_1}\) và một đỉnh thuộc vào \({d_2}\)
Số cách chọn bộ hai điểm trong 10 thuộc \({d_1}:C_{10}^2\)
Số cách chọn một điểm trong 15 điểm thuộc \({d_2}:C_{15}^1\)
Loại này có: \(C_{10}^2C_{15}^1\) tam giác.
Loại 2: Gồm một đỉnh thuộc vào \({d_1}\) và hai đỉnh thuộc vào \({d_2}\)
Số cách chọn một điểm trong 10 thuộc \({d_1}:C_{10}^1\)
Số cách chọn bộ hai điểm trong 15 điểm thuộc \({d_2}:C_{15}^2\)
Loại này có: \(C_{10}^1.C_{15}^2\) tam giác.
Vậy có tất cả: 1725 tam giác thỏa yêu câu bài toán.
Cách 2 : Ta có thể sử dụng phương pháp phân bù ( ta lấy số cách lấy 3 điểm bất kỳ trừ đi số cách lấy 3 điểm thẳng hàng, khi đó sẽ còn lại số cách lấy 3 điểm không thẳng hàng)
Số cách lấy 3 điểm trong 25 điểm đã cho là \(C_{25}^3\)
Số cách lấy 3 điểm thẳng hàng : \(C_{15}^3 + C_{10}^3\)
Do đó số cách lấy 3 điểm không thẳng hàng là \(C_{25}^3 – \left( {C_{15}^3 + C_{10}^3} \right) = 1725\)
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu câu đề bài là 1725
Chọn C
Bài toán 2. Một đa giác đều có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Số cạnh của đa giác đều là
A. 5 .
B. 6 .
C. 7 .
D. 8 .
Lời giải
Đa giác có n cạnh \((n \in \mathbb{N},n \ge 3)\).
Số đường chéo trong đa giác là: \(C_n^2 – n\).
Ta có:
\(C_n^2 – n = 2n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n – 2)!.2!}} = 3n \Leftrightarrow n(n – 1) = 6n \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 7}\\{n = 0}\end{array} \Leftrightarrow n = 7} \right.\)
Chọn C
Bài toán 3. Cho đa giác đều \({A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}\) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2 n điểm \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}\) gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2 n điểm \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}\). Tìm n ?
A. 3
B. 6
C. 8
D. 12
Lời giải
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2 n điểm \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}\) là: \(C_{2n}^3\).
Ta thấy ứng với hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác \({A_1}{A_2} \ldots {A_{2n}}\) cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 điểm trong 2 n điểm \({A_1},{A_2}, \ldots ,{A_{2n}}\). Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n nên số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm bằng \(C_n^2\).
Xem thêm