Lý thuyết Cấp số nhân (Cánh diều 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 3: Cấp số nhân

A. Lý thuyết Cấp số nhân

1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng ngay trước nó với một số không đổi q. Tức là:

$u_n=u_{n-1}.q,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Chú ý: Dãy $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân thì ${u_k}^2=u_{k-1}.u_{k+1}\left(k\ge 2\right)$.

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu $u_1$ và công bội q thì số hạng tổng quát $u_n$của nó được xác định bởi công thức

$u_n=u_1.q^{n-1},n\ge 2$

3. Tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ với công bội $q\ne 1$. Đặt $S_n=u_1+u_2+u_3+...+u_n$. Khi đó

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$

B. Bài tập Cấp số nhân

Bài 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Hướng dẫn giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp –2 lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = –2 và công bội q = –2.

b) Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{9}{4}$ nên dãy 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 không phải là cấp số nhân.

Bài 2. Cho dãy số (u_n) có u_n = (–1)ⁿ⁺¹ . 3²ⁿ⁺¹. Chứng minh dãy (u_n) là một cấp số nhân. Chỉ rõ u₁ và công bội q.

Hướng dẫn giải

Ta xét tỉ số:

.

Suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân có công bội q = –9 và u₁ = (–1)¹⁺¹ . 3^2.1+1 = 27.

Vậy u₁ = 27 và q = –9.

Bài 3. Cho cấp số nhân (u_n) có u₅ = 8 và u₁₁ = 512.

a) Tính số hạng đầu u₁ và công bội q của cấp số nhân (biết công bội q > 0).

b) Tính u₂₀ và S₂₀.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 

Do q > 0 nên $\frac{u_{11}}{u_5}=\frac{u_1.q^{10}}{u_1.q^4}=q^6=64\Rightarrow q=2$ (do q > 0).

Thay q = 2 trở lại hệ ta được u₁ = $\frac{1}{2}$.

Vậy cấp số nhân đã cho có u₁ = $\frac{1}{2}$ và q = 2.

b) Ta có u₂₀ = u₁.q^{20 – 1} = u₁.q¹⁹ = $\frac{1}{2}{.2}^{19}=2^{18}=262144$.

.

Vậy u₂₀ = 262144 và $S_{20}=\frac{1048575}{2}$.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Cấp số cộng

Lý thuyết Bài 3: Cấp số nhân

Lý thuyết Bài 1: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 2: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Giới hạn. Hàm số liên tục

Lý thuyết Chương 4: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song