Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lý thuyết Toán lớp 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$ khi  $n\to +\mathrm{\infty }$.

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$ khi  $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý: Nếu $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ thì

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b$

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$

b, Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

 

Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

*Quy tắc:

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=0$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,\mathrm{\forall }n$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=+\mathrm{\infty }$.

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2);

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}$;

c) 

Hướng dẫn giải

a)$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(2n³-3n+2) = $\underset{n\to +\infty }{\lim }$ = +$\infty$

Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^3=+\infty$ và  = 2.

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n+1}{n-2}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}}{1-\frac{2}{n}}$= 2.

c) 

$=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{9}$

Bài 2: Cho hai dãy số không âm (u_n) và (v_n) với $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=3$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$. Tìm giới hạn của: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=5$, do đó $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n^2=$$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n . u_n) = 5.5 = 25.

$\underset{n\to +\infty }{\lim }$(v_n – u_n) = 5-3 = 2.

Vậy $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{v_n^2}{v_n-u_n}$ = $\frac{25}{2}$.

Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;

Hướng dẫn giải

u_n là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = $\frac{-1}{3}$.

Tổng của cấp số nhân này là: S = $\frac{u_1}{1-q}$ = $\frac{3}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{4}$.

Bài 4: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow u_1^2\cdot \frac{1}{1-q^2}=448$

⇒ 

Suy ra: q = $\frac{3}{4}$.

Ta tìm được: u₁ = 14.

Video bài giảng Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số – Kết nối tri thức

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 13: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết Bài 14: Phép chiếu song song

Lý thuyết Bài 15: Giới hạn của dãy số

Lý thuyết Bài 16: Giới hạn của hàm số

Lý thuyết Bài 17: Hàm số liên tục

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết chương Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác

Lý thuyết Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Lý thuyết Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

Lý thuyết Chương 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Lý thuyết Chương 4: Quan hệ song song trong không gian

Lý thuyết Chương 5: Giới hạn. Hàm số liên tục