Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, A^=120°. Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, $\hat{A} = 120 °$ . Tính độ dài trung tuyến AM dựa vào tích vô hướng.

A. $\frac{\sqrt{13}}{2}$ ;

Đáp án chính xác

B. $\sqrt{13}$ ;

C. 13

D. 2

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC.
Do đó, có: $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} \Rightarrow 4 {\vec{A M}}^{2} = {(\vec{A B} + \vec{A C})}^{2}$
$\Leftrightarrow 4 A M^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2}$ .
$\cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = \cos \hat{A} = \cos 120 ° = - \frac{1}{2}$
$|\vec{A B}| = A B = 4$
$|\vec{A C}| = A C = 3$
$\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = 4.3. (\frac{- 1}{2}) = - 6$
$4 A M^{2} = A B^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A C} + A C^{2} = 4^{2} + 2. (- 6) + 3^{2} = 13$
$\Rightarrow A M^{2} = \frac{13}{4} \Leftrightarrow A M = \frac{\sqrt{13}}{2}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=2 và a→=2. Tính độ dài của vectơ b→.

Câu hỏi:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = 2$ và $|\vec{a}| = 2$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{b}$ .

A. 1

B. 2

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{1}{4}$ .

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
$\vec{a} . \vec{b} = 2 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 2$
$\Leftrightarrow 2. |\vec{b}| . c o s 60 ° = 2 \Leftrightarrow 2. |\vec{b}| . \frac{1}{2} = 2 \Leftrightarrow |\vec{b}| = 2$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=30°, a→.b→=3và b→=2. Tính độ dài của vectơ a→.

Câu hỏi:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 30 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = \sqrt{3}$ và $|\vec{b}| = 2$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ .

A. 1

Đáp án chính xác

B. 2

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{1}{4}$ .

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
$\vec{a} . \vec{b} = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| .2. c o s 30 ° = \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow |\vec{a}| .2. \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow |\vec{a}| = 1$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho hai vectơ a→ và b→ đều khác 0→. Biết: a→,b→=60°, a→.b→=4 và a→+b→=6. Tính độ dài của vectơ a→ với a→>3.

Câu hỏi:

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Biết: $(\vec{a}, \vec{b}) = 60 °$ , $\vec{a} . \vec{b} = 4$ và $|\vec{a}| + |\vec{b}| = 6$ . Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$ với $|\vec{a}| > 3$ .

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Đáp án chính xác

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
$\vec{a} . \vec{b} = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s (\vec{a}, \vec{b}) = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . c o s 60 ° = 4$
$\Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| . \frac{1}{2} = 4 \Leftrightarrow |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8$ .
Ta có: $\{\begin{cases} |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8 \\ |\vec{a}| + |\vec{b}| = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |\vec{a}| . |\vec{b}| = 8 \\ |\vec{b}| = 6 - |\vec{a}| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} |\vec{a}| . (6 - |\vec{a}|) = 8 (1) \\ |\vec{b}| = 6 - |\vec{a}| \end{cases}$
Xét (1) ta có : $6 |\vec{a}| - {|\vec{a}|}^{2} = 8 \Leftrightarrow - {|\vec{a}|}^{2} + 6 |\vec{a}| - 8 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} |\vec{a}| = 4 \\ |\vec{a}| = 2 \end{array}$
Vì $|\vec{a}| > 3$ nên ta có: $|\vec{a}| = 4$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, A^=30°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 2a, AC = a, $\hat{A} = 30 °$ . Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $a \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$

Đáp án chính xác

B. $a (5 - 2 \sqrt{3})$

C. 5a

D. $2 \sqrt{3} a$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
$B C^{2} = {\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$
$= A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2}$ .
Ta có:
$\cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = \cos \hat{A} = c o s 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{A C}| = A C = a; |\vec{A B}| = A B = 2 a$
$\vec{A C} . \vec{A B} = |\vec{A C}| . |\vec{A B}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = a .2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} a^{2}$

Do đó, ta có:
$B C^{2} = A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2} = a^{2} - 2. \sqrt{3} a^{2} + {(2 a)}^{2} = (5 - 2 \sqrt{3}) a^{2}$
$\Rightarrow B C = a \sqrt{5 - 2 \sqrt{3}}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A^=45°. Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, $\hat{A} = 45 °$ . Tính độ dài BC dựa vào tích vô hướng.

A. $\sqrt{13 + 6 \sqrt{2}}$

B. $\sqrt{13 - 6 \sqrt{2}}$

Đáp án chính xác

C. 13

D. $6 \sqrt{2}$

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
$B C^{2} = {\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + {\vec{A B}}^{2}$
$= A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2}$ .
Ta có:
$\cos (\vec{A C}, \vec{A B}) = \cos \hat{A} = c o s 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$|\vec{A C}| = A C = 3; |\vec{A B}| = A B = 2$
$\vec{A C} . \vec{A B} = |\vec{A C}| . |\vec{A B}| . c o s (\vec{A B}, \vec{A C}) = 3.2. \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$

Do đó, ta có:
$B C^{2} = A C^{2} - 2 \vec{A C} . \vec{A B} + A B^{2} = 3^{2} - 2.3 \sqrt{2} + 2^{2} = 13 - 6 \sqrt{2}$
$\Rightarrow B C = \sqrt{13 - 6 \sqrt{2}}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy