Sách bài tập Toán 8 Bài 10 (Kết nối tri thức): Tứ giác

Giải SBT Toán lớp 8 Bài 10: Tứ giác

Bài 3.1 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng cả bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Lời giải:

Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°, nên:

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn 90° thì tổng của chúng bé hơn 360°, điều này vô lí.

• Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn 90° thì tổng của chúng lớn hơn 360°, điều này vô lí.

Bài 3.2 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.

Lời giải:

Chứng minh rằng trong một tứ giác độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại

Xét tứ giác ABCD như hình vẽ. Ta cần chứng minh AB < AD + BC + CD và các trường hợp còn lại tương tự.

Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.

Vậy AB < AD + BC + CD.

Tương tự ta cũng có:

BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.

Bài 3.3 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tuỳ ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải:

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là P_ABCD = AB + BC + CD + DA.

a) Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P_ABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P_ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P_ABCD, do đó AC + BD < P_ABCD.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = P_ABCD

Tức là $A C + B D > \frac{1}{2} P_{A B C D} .$

Bài 3.4 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

Lời giải:

– Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP + MQ ≥ PQ và MP + MQ = PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.

Thật vậy,

• nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP + MQ > PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất

• nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP + MQ = PQ (hình vẽ)

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất

• nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP + MQ > PQ (hình vẽ).

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất

– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).

Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất

Ta có:

MA + MC ≥ AC và MA + MC = AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.

MB + MD ≥ BD và MB + MD = BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.

Do đó MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD và MA + MB + MC + MD = AC + BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.

Bài 3.5 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, $\hat{B} = 100 °$ ; $\hat{D} = 120 °$ . Tính $\hat{A}$ và $\hat{C}$ .

Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, góc B = 100 độ, góc D = 120 độ

Lời giải:

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra ${\hat{A}}_{2} = {\hat{C}}_{2}$

Do đó $\hat{A} = {\hat{C}}_{2}$ = $\frac{180 ° - \hat{B}}{2}$ = $\frac{180 ° - 100 °}{2}$ = 40°.

Do CD = DA, ∆DAC cân tại D, suy ra ${\hat{A}}_{1} = {\hat{C}}_{1}$

Xét ∆ADC có: ${\hat{A}}_{1} + {\hat{C}}_{1} + \hat{D}$ = 180°

Do đó ${\hat{A}}_{1} = \hat{C}$ = $\frac{180 ° - \hat{D}}{2}$ = $\frac{180 ° - 120 °}{2}$ = 30°.

Ta có: $\hat{A} = {\hat{A}}_{1} + {\hat{A}}_{2}$ = 40° + 30° = 70°;

$\hat{C} = {\hat{C}}_{1} + {\hat{C}}_{2}$ = 40° + 30° = 70°.

Vậy tứ giác ABCD có $\hat{A} = \hat{C}$ = 70°.

Bài 3.6 trang 32 sách bài tập Toán 8 Tập 1: a) Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác. (Có hai góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác, chúng đối đỉnh nên thường gọi tắt là góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác). Hãy tính tổng bốn góc ngoài tại bốn đỉnh của một tứ giác.

b) Định nghĩa góc ngoài tại một đỉnh của tam giác một cách tương tự. Hỏi tổng các góc ngoài của một tam giác bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác

Do góc ngoài và góc tại đỉnh đó là 2 góc kề bù nên tổng bằng 180°.

Xét tứ giác ABCD (hình vẽ) có:

${\hat{A}}_{1} + {\hat{B}}_{1} + {\hat{C}}_{1} + {\hat{D}}_{1} = 360 °;$

Góc ngoài tại đỉnh A là ${\hat{A}}_{2} = 180 ° - {\hat{A}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh B là ${\hat{B}}_{2} = 180 ° - {\hat{B}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh C là ${\hat{C}}_{2} = 180 ° - {\hat{C}}_{1};$

Góc ngoài tại đỉnh D là ${\hat{D}}_{2} = 180 ° - {\hat{D}}_{1} .$

Tổng 4 góc ngoài của tứ giác ABCD là:

${\hat{A}}_{2} + {\hat{B}}_{2} + {\hat{C}}_{2} + {\hat{D}}_{2}$

$= (180 ° - {\hat{A}}_{1}) + (180 ° - {\hat{B}}_{1}) + (180 ° - {\hat{C}}_{1}) + (180 ° - {\hat{D}}_{1})$

$= 4 \cdot 180 ° - ({\hat{A}}_{1} + {\hat{B}}_{1} + {\hat{C}}_{1} + {\hat{D}}_{1})$

$= 2 \cdot 360 ° - 360 ° = 360 ° .$

Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác

Tương tự, với tam giác ABC, ta có tổng các góc ngoài là:

${\hat{A}}_{2} + {\hat{B}}_{2} + {\hat{C}}_{2}$

$= (180 ° - {\hat{A}}_{1}) + (180 ° - {\hat{B}}_{1}) + (180 ° - {\hat{C}}_{1})$

$= 3 \cdot 180 ° - ({\hat{A}}_{1} + {\hat{B}}_{1} + {\hat{C}}_{1})$

$= 3 \cdot 180 ° - 180 ° = 360 ° .$

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 2

Bài 10: Tứ giác

Bài 11: Hình thang cân

Bài 12: Hình bình hành

Bài 13: Hình chữ nhật

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy