Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

Câu hỏi:

Một sao chổi chuyền động theo quỹ đạo parabol nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là 106 km. Lập phương trình chính tắc của quỹ đạo theo đơn vị kilômét. Hỏi khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, thì khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là bao nhiêu kilômét?

Trả lời:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 2px (p > 0).
Giả sử sao chổi có toạ độ là M(x; y).
Khi đó khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là MF = x + $\frac{p}{2}\ge \frac{p}{2}.$
Do đó khoảng cách ngắn nhất từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là $\frac{p}{2}$
 $\Rightarrow \frac{p}{2}=106\Rightarrow$p = 212.
Vậy phương trình chính tắc của quỹ đạo parabol là y² = 424x.
Khi sao chổi nằm trên đường vuông góc với trục đối xứng của quỹ đạo tại tâm Mặt Trời, tức điểm M nằm trên đường thẳng $\frac{p}{2}$  thì M có hoành độ là $x=\frac{p}{2}=106$
 $\Rightarrow$Khoảng cách từ sao chổi đến tâm Mặt Trời là:
MF = x +$\frac{p}{2}$= 106 + 106 = 212 (km).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3.18). a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không? b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3.18).
   
   a) Nếu điểm M(x0; y0) thuộc parabol thì điểm N(x0; –y0) có thuộc parabol hay không?
   b) Từ phương trình chính tắc của parabol, có thể rút ra điều gì về hoành độ của những điểm thuộc parabol?

   Trả lời:

   a) M(x₀; y₀) thuộc parabol thì $y_0^2=2p{x}_0.$
   Có ${\left(-y_0\right)}^2=y_0^2=2p{x}_0$  nên N(x₀; –y₀) cũng thuộc parabol.
   b) Từ phương trình chính tắc của parabol, ta thấy hoành độ của những điểm thuộc parabol đều không âm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc và đi qua điểm A(6; 6). Tìm tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của (P).

   Trả lời:

   Gọi phương trình chính tắc của (P) là y² = 2px (p > 0).
   Theo đề bài, (P) đi qua điểm A(6; 6) $\Rightarrow$  6² = 2p.6 $\Rightarrow$  p = 3.
   Suy ra phương trình đường chuẩn của (P) là $x=-\frac{3}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19). a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol. b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình chính tắc y2 = 2px (H.3. 19).
   
   a) Nêu toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn Δ của parabol.
   b) Cho điểm M(x0; y0) thuộc parabol. Hãy so sánh MF với d(M; Δ), từ đó, tính MF theo x0 và y0. Độ dài MF gọi là bán kinh qua tiêu của điểm M.

   Trả lời:

   a) Điểm F có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)$ và phương trình đường chuẩn là $\Delta :x=-\frac{p}{2}.$
   b) Theo định nghĩa parabol thì MF = d(M; Δ).
   Ta viết lại phương trình Δ: $x=-\frac{p}{2}\iff x+0.y+\frac{p}{2}=0.$
   Khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn Δ là: 
   d(M; Δ) = $\frac{\left|x_0+0.y_0+\frac{p}{2}\right|}{\sqrt{1^2+0^2}}=\left|x_0+\frac{p}{2}\right|=x_0+\frac{p}{2}.$
   Vậy MF = d(M; Δ) = $x_0+\frac{p}{2}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho parabol có phương trình y2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol có phương trình y2 = 8x. Tìm toạ độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol. Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.

   Trả lời:

   Có 2p = 8$\Rightarrow$ p = 4  $\Rightarrow$Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0) và phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.
   Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có 4² = 8x $\Rightarrow$  x = 2. Vậy M(2; 4).
   Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là MF = x + $\frac{p}{2}=2+\frac{4}{2}=4.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học. a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan; b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm; c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét; d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Theo các bước sau, hãy giải quyết vấn đề đã được nêu ra ở phần mở đầu bài học.
   a) Tìm chiều cao của cổng mà bác Vinh đã tham quan;
   b) Tìm chiều cao và chiều rộng của mô hình thu nhỏ mà bác Vinh dự định làm;
   c) Tìm phương trình chính tắc của mô hình đó, theo đơn vị mét;
   d) Nếu tại tiêu điểm của mô hình, bác Vinh treo một ngôi sao thì ngôi sao đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

   Trả lời:

   a) Gọi toạ độ của điểm chân cầu có tung độ dương là M(x; y).
   Cổng rộng 192 m tức là tung độ của điểm chân cầu là y = 192 : 2 = 96 $\Rightarrow {96}^2=48x\Rightarrow x=192.$

   Vậy chiều cao của cổng là 192 mét.
   b) Vì mô hình bác Vinh làm có tỉ lệ là 1 : 100 nên:
   – Chiều cao của mô hình là: h = 192 : 100 = 1,92 (m).
   – Chiều rộng của mô hình là: d = 192 : 100 = 1,92 (m).
   c) Gọi phương trình chính tắc của mô hình là y² = 2px (p > 0).
   Khi đó toạ độ của điểm chân cầu là $\left(h;\frac{d}{2}\right)=\left(\mathrm{1,92};\frac{\mathrm{1,92}}{2}\right)=\left(\mathrm{1,92};\mathrm{0,96}\right).$

   Vậy phương trình chính tắc của mô hình là y² = 0,48x.
   d) Tiêu điểm của mô hình có toạ độ là $\left(\frac{p}{2};0\right)=\left(\frac{\mathrm{0,24}}{2};0\right)=\left(\mathrm{0,12};0\right).$
   Do đó ngôi sao cách đỉnh của mô hình 0,12 m
   $\Rightarrow$ Độ cao của ngôi sao so với mặt đất là: 1,92 – 0,12 = 1,8 (m).
   Vậy ngôi sao đó ở độ cao 1,8 mét so với mặt đất.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====