Giải bài toán dân gian sau: Em đi chợ phiên Anh gửi một tiền Cam, thanh yên, quýt Không nhiều thì ít Mua đủ một trăm Cam ba đồng một Quýt một đồng năm Thanh yên tươi tốt Năm đồng một trái. Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?

Câu hỏi:

Giải bài toán dân gian sau:
Em đi chợ phiên
Anh gửi một tiền
Cam, thanh yên, quýt
Không nhiều thì ít
Mua đủ một trăm
Cam ba đồng một
Quýt một đồng năm
Thanh yên tươi tốt
Năm đồng một trái.
Hỏi mỗi thứ mua bao nhiêu trái, biết một tiền bằng 60 đồng?

Trả lời:

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) $\left(x,y,z\in \mathbb{N}*\right).$
Theo đề bài, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+\frac{y}{5}+5z=60\\ x+y+z=100\end{array}\right..$
$\left\{\begin{array}{l}3x+\frac{y}{5}+5z=60\\ x+y+z=100\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ x+y+z=100\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ -14y+10z=-1200\end{array}\right.$
$\iff \left\{\begin{array}{l}15x+y+25z=300\\ -7y+5z=-600\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}15x+\frac{5z+600}{7}+25z=300\\ y=\frac{5z+600}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{100-12z}{7}\\ y=\frac{5z+600}{7}\end{array}\right.\left(*\right).$
Vì x > 0 nên 100 – 12z > 0 $\Rightarrow z<\frac{100}{12}<9\Rightarrow z\in \left\{1;2;\mathrm{\dots };8\right\}.$
Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có z = 6 thoả mãn (vì y $\in \mathbb{N}*)$. Vậy z = 6, suy ra y = 90, x = 4.
Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải các hệ phương trình sau: a) x+y+z=6x+2y+3z=143x−2y−z=−4; b) 2x−2y+z=63x+2y+5z=77x+3y−6z=1; c) 2x+y−6z=13x+2y−5z=57x+4y−17z=7; d) 5x+2y−7z=62x+3y+2z=79x+8y−3z=1.    
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các hệ phương trình sau:
   a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.$;

   b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.$;
   c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.$;

   d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.$.

    
    

   Trả lời:

   a) $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ 5y+4z=22\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ -6z=-18\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2.3=-8\\ z=3\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}x+2+3=6\\ y=2\\ z=3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}\right..$
    
   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).
   b) $\left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ -20y+19z=40\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7z=4\\ -33z=-32\end{array}\right.$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7.\frac{32}{33}=4\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2\left(-\frac{178}{165}\right)+\frac{32}{33}=6\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{79}{55}\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\right..$

   Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $\left(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}\right).$
   c) $\left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ -y-8z=-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\end{array}\right..$
   Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=\frac{1-\left(7-8z\right)+6z}{2}=7z-3.$ Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{}}.$
   d) $\left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -11y-24z=-23\\ -22y-48z=49\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -22y-48z=-46\\ -22y-48z=49\end{array}\right..$
   Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.
   Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm các số thực A, B và C thoả mãn 1×3+1=Ax+1+Bx+Cx2−x+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số thực A, B và C thoả mãn $\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}.$

   Trả lời:

   $\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{A\left(x^2-x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$
   $\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{\left(A{x}^2-Ax+A\right)+\left(B{x}^2+Bx+Cx+C\right)}{x^3+1}$
   $\iff \frac{1}{x^3+1}=\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-A+B+C\right)x+\left(A+C\right)}{x^3+1}$
   $\iff \left\{\begin{array}{l}A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{2}{3}\end{array}\right..$

   Vậy $A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3},C=\frac{2}{3}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm parabol y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp sau: a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8); b) Parabol nhận đường thẳng x = 52 làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm parabol y = ax2 + bx + c trong mỗi trường hợp sau:
   a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8);
   b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4).

   Trả lời:

   a) Parabol đi qua ba điểm A(2; –1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:
   $\left\{\begin{array}{l}-1=a{.2}^2+b.2+c\\ 3=a{.4}^2+b.4+c\\ 8=a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=-1\\ 16a+4b+c=3\\ a-b+c=-1\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$ b = $-\frac{2}{5},$ c = $-\frac{9}{5}.$
   Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^2-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$
   b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$ làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 5a + b = 0.
   Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5; –4), suy ra
   $0=a{.1}^2+b.1+c$ và $-4=a{.5}^2+b.5+c$
   hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.
   Vậy ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5a+b=0\\ a+b+c=0\\ 25a+5b+c=-4\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.
   Vậy phương trình của parabol là y = –x2 + 5x – 4.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng toạ độ, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1).

   Trả lời:

   Giả sử đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 – c > 0).
   Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:
   $\left\{\begin{array}{l}{0}^2+1^2-2a.0-2b.1+c=0\\ 2^2+3^2-2a.2-2b.3+c=0\\ 4^2+1^2-2a.4-2b.1+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2b-c=1\\ 4a+6b-c=13\\ 8a+2b-c=17\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).
   Vậy đường tròn cần viết có phương trình x2 + y2 – 4x – 2y + 1 = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một đoàn xe chở 255 tấn gạo tiếp tế cho đồng bào vùng bị lũ lụt. Đoàn xe có 36 chiếc gồm ba loại: xe chở 5 tấn, xe chở 7 tấn và xe chở 10 tấn. Biết rằng tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn. Hỏi mỗi loại xe có bao nhiêu chiếc?

   Trả lời:

   Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.
   Theo đề bài, ta có:
   – Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).
   – Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).
   – Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).
   Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5x+7y+10z=255\\ x+y+z=36\\ x+y-3z=0\end{array}\right..$
   Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.
   Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====