Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 > 0, ∀x ∈ ℝ.

Câu hỏi:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ.

Trả lời:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0.
Coi f(x) = b²x² – (b² + c² – a²)x + c² là một tam thức bậc hai ẩn x dạng f(x) = Ax² + Bx + C.
Xét phương trình bậc hai b²x² – (b² + c² – a²)x + c² = 0 có:
A = b² > 0 (vì b là độ dài cạnh của tam giác)
∆ = B² – 4AC = [– (b² + c² – a²)]² – 4.b².c²
= (b² + c² – a²)² – (2bc)²  
= (b² + c² – a² – 2bc)(b² + c² – a²  + 2bc)
= [(b – c)² – a²][(b + c)² – a²]
= (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)
Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:
a + b – c > 0
b + c – a > 0
b + c + a > 0
b – c – a = b – (c + a) < 0
Do đó ∆ < 0.
Vậy b²x² – (b² + c² – a²)x + c² > 0, ∀x ∈ ℝ (điều cần phải chứng minh).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f(x) = –x2 + 6x + 7;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
   a) f(x) = –x² + 6x + 7;

   Trả lời:

   a)
   f(x) = –x² + 6x + 7 có a = –1 < 0
   f(x) = 0 ⇔ –x² + 6x + 7 = 0
   Xét phương trình bậc hai –x² + 6x + 7 = 0 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4.(–1).7 = 64 > 0
   Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=7\\ x_2=-1\end{array}\right.$
   Vậy f(x) = –x² + 6x + 7 < 0 với x ∈ (–∞; –1) ∪ (7; +∞), f(x) = –x² + 6x + 7 > 0 với x ∈ (–1; 7).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. b) g(x) = 3×2 – 2x + 2;
   
   

   Câu hỏi:
   

   b) g(x) = 3x² – 2x + 2;

   Trả lời:

   b)
   g(x) = 3x² – 2x + 2 có a = 3 > 0
   g(x) = 0 ⇔ 3x² – 2x + 2 = 0
   Xét phương trình bậc hai 3x² – 2x + 2 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–2)² – 4.3.2 = –20 < 0.
   Vậy g(x) = 3x² – 2x + 2 > 0 với x ∈ ℝ.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. c) h(x) = –16×2 + 24x – 9;
   
   

   Câu hỏi:
   

   c) h(x) = –16x² + 24x – 9;

   Trả lời:

   c)
   h(x) = –16x² + 24x – 9 có a = –16 < 0
   h(x) = 0 ⇔ –16x² + 24x – 9 = 0
   Xét phương trình bậc hai –16x² + 24x – 9 = 0 có ∆ = b² – 4ac = 24² – 4.(–16).(–9) = 0
   Vậy phương trình có nghiệm kép: $x=\frac{3}{4}$.
   Vậy h(x) < 0 với $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{3}{4}\right\}$và h(x) = 0 tại $x=\frac{3}{4}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. d) k(x) = 2×2 – 6x + 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   d) k(x) = 2x² – 6x + 1.

   Trả lời:

   d)
   k(x) = 2x² – 6x + 1 có a = 2 > 0
   k(x) = 0 ⇔ 2x² – 6x + 1 = 0
   Xét phương trình bậc hai 2x² – 6x + 1 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–6)² – 4.2.1 = 28 > 0
   Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\\ x_2=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.$
   Vậy k(x) < 0 với x ∈$\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2};\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)$và k(x) > 0 với x ∈$\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{7}}{2};+\infty \right)$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải các bất phương trình sau: a) 3×2 – 36x + 108 > 0;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải các bất phương trình sau:
   a) 3x² – 36x + 108 > 0;

   Trả lời:

   a)
   Xét tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 36x + 108 có a = 3 > 0
   Phương trình bậc hai 3x² – 36x + 108 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–36)² – 4.3.108 = 0
   Do đó, phương trình có nghiệm kép x = 6.
   Do đó, f(x) = 3x² – 36x + 108 > 0 với x ∈ ℝ\{6}
   Hay tập nghiệm của bất phương trình 3x² – 36x + 108 > 0 là S = ℝ\{6}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====