Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).  Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –1), B(2; –2) và C(0; –1).
 Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A chính là khoảng cách từ điểm A đến cạnh BC.
Đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow {BC} {\rm{ }} = \left( { – 2;\,\,1} \right)\) là một vectơ chỉ phương. Do đó \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của BC.
Đường thẳng BC đi qua đểm B(2; –2) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\)nên có phương trình tổng quát là:
1(x – 2) + 2.[y – (–2)] = 0
⇔ x + 2y – 2 + 4 = 0
⇔ x + 2y + 2 = 0
Theo công thức tính khoảng cách, ta có \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2 + 2.\left( { – 1} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
Vậy độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là: \(\frac{2}{{\sqrt 5 }}\) (đvđd).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:  m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
    m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Xét m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0 ta có:
   a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = –2
   a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = –4
   Xét tỉ số:
   \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{{ – 2}}{{ – 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)
   Vậy m trùng với k.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Xét \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\)
   Ta có:
   Vectơ chỉ phương của a là: \(\overrightarrow {{u_a}} \) = (2; 0)
   Vectơ chỉ phương của b là: \(\overrightarrow {{u_b}} \) = (3; 1)
   Do \(\frac{2}{3} \ne \frac{0}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_a}} \) và \(\overrightarrow {{u_b}} \) không cùng phương
   Vậy a và b cắt nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. d1: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\)
   Vectơ pháp tuyến của d₁ là: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {1; – 2} \right)\)
   Vectơ chỉ phương của d₂ là: \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( { – 2; – 1} \right)\). Do đó, d₂ có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {1; – 2} \right)\)
   Ta có: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \overrightarrow {{n_{{d_2}}}} \) nên d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau
   Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 . Khi x = 3 thì y = 1, do đó, điểm (3; 1) thuộc đường thẳng d₁.
   Xét \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 1 – 2t}\\{1 = 2 – t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 1\end{array} \right.\) (không thể tồn tại), do đó, điểm (3; 1) không thuộc đường thẳng d₂
   Vậy d₁ // d₂.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
   d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {1; – 1} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
   \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {0.1 + 1.\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
   \( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
   Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\) và b: 3x + y + 1 = 0;
   
   

   Câu hỏi:
   

   \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\) và b: 3x + y + 1 = 0;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{u_a}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_b}} = \left( {3;1} \right)\)
   nên \(\overrightarrow {{u_b}} = \left( {1; – 3} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
   \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_a}} ,\,\,\overrightarrow {{u_b}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} .\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
   \( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \)
   Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====