Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội. Nhận xét gì về sự phân tán của hai mẫu số liệu này?

Câu hỏi:

Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội. Nhận xét gì về sự phân tán của hai mẫu số liệu này?

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn của hai mẫu số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng và Hà Nội.
* Đà Nẵng:
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
13,2; 14,1; 28,0; 39,5; 58,6; 60,2; 62,5; 119,6; 145,1; 253,5; 291,2; 304,0.  
Khoảng biến thiên: R = 304,0 – 13,2 = 290,8.
Trung vị: \({Q_2} = \frac{{60,2 + 62,5}}{2} = 61,35\).
Tứ phân vị thứ nhất: Q1 = \(\frac{{28,0 + 39,5}}{2} = 33,75\).
Tứ phân vị thứ ba: Q3 = \(\frac{{145,1 + 253,5}}{2}\)= 199,3.
Khoảng tứ phân vị: ∆Q = Q3 – Q1 = 199,3 – 33,75 = 165,55.
Phương sai:
s2 = [(115,79 – 13,2)2 + (115,79 – 14,1)2 + (115,79 – 28,0)2 + (115,79 – 39,5)2 + (115,79 – 58,6)2 + (115,79 – 60,2)2 + (115,79 – 62,5)2 + (115,79 – 119,6)2 + (115,79 – 145,1)2 + (115,79 – 253,5)2 + (115,79 – 291,2)2 + (115,79 – 304,0)2] : 12 ≈ 10 801,91.  
Độ lệch chuẩn: s = \(\sqrt {{s^2}} \)≈ 103,93.
* Hà Nội:
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
11,9; 13,0; 14,1; 29,2; 45,0; 52,5; 84,8; 126,3; 160,1; 173,8; 204,0; 226,2.
Khoảng biến thiên: R’ = 226,2 – 11,9 = 214,3.
Trung vị: \({Q’_2} = \frac{{52,5 + 84,8}}{2} = 68,65\).
Tứ phân vị thứ nhất: Q’1 = \(\frac{{14,1 + 29,2}}{2} = 21,65\).
Tứ phân vị thứ ba: Q’3 = \(\frac{{160,1 + 173,8}}{2}\)= 166,95.
Khoảng tứ phân vị: ∆’Q = Q’3 – Q’1 = 166,95 – 21,65 = 145,3.
Phương sai:
s’2 = [(95,08 – 11,9)2 + (95,08 – 13,0)2 + (95,08 – 14,1)2 + (95,08 – 29,2)2 + (95,08 – 45,0)2 + (95,08 – 52,5)2 + (95,08 – 84,8)2 + (95,08 – 126,3)2 + (95,08 – 160,1)2 + (95,08 – 173,8)2 + (95,08 – 204,0)2 + (95,08 – 226,2)2] : 12 ≈ 5 786,32.  
Độ lệch chuẩn: s’ = \(\sqrt {{{s’}^2}} \)≈ 76,07.
Từ đó ta có dãy số liệu về lượng mưa trung bình các tháng tại Đà Nẵng phân tán hơn so với tại Hà Nội.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các mệnh đề: P: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”; Q: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b2 – 4ac > 0”. Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các mệnh đề:
   P: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”;
   Q: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”.
   Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   + Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”. Đây là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề Q ⇒ P: “ Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0 thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”. Đây là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề P ⇔ Q: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”. Do P ⇒ Q, Q ⇒ P đều là các mệnh đề đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề
   Mệnh đề  là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 không có hai nghiệm phân biệt”.
   Mệnh đề  là mệnh đề phủ định của mệnh đề Q và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≤ 0”.
   Khi đó, ta phát biểu mệnh đề : “Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 không có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≤ 0”. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   + Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt là điều kiện đủ để phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0.
   + Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0 là điều kiện cần để phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Ta có các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu thì luôn có hai nghiệm trái dấu, hiển nhiên đây là hai nghiệm phân biệt. Nhưng các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm này chưa chắc đã trái dấu.
   Do đó mọi phần tử của tập hợp Y thì đều là phần tử của tập hợp X.
   Vậy Y là tập con của tập hợp X và ta viết Y ⊂ X.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x – 2y \ge – 6}\\{2x + y \le 10}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x – 2y \ge – 6}\\{2x + y \le 10}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ đã cho như sau:
   Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).
   Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (miền không bị gạch).
   Bước 3: Vẽ đường thẳng d₁: 3x – 2y = – 6. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d₁ và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x – 2y ta được: 3 . 0 – 2 . 0 = 0 > – 6. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 3x – 2y ≥ – 6 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
   Bước 4: Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 10. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d₂ và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 2x + y ta được: 2 . 0 + 0 = 0 < 10. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 10 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
   Vậy miền nghiệm D của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Vì giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D, do đó ta tính giá trị của F tại (x; y) là tọa độ các đỉnh O, A, B, C.
   Ta có: F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;
   F(0; 3) = 2 . 0 + 3 . 3 = 9;
   F(2; 6) = 2 . 2 + 3 . 6 = 22;
   F(5; 0) = 2 . 5 + 3 . 0 = 10.
   Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D lần lượt là 22 và 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====