Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Câu hỏi:

Chứng minh rằng nếu p và (p+2) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12

Trả lời:

Ta có: p+(p+2)=2(p+1)Vì p lẻ nên $(p+1)⋮2=>2(p+1)⋮4$ (1)Vì p, (p+1), (p+2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất một số chia hết cho 3, mà p và (p+2) nguyên tố nên $(p+1)⋮3$ (2)Từ (1) và (2) suy ra  $\left[p+(p+2)\right]⋮12$ (đpcm)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tính giá trị của biểu thức sau: A=43+5−81+5+155 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị của biểu thức sau: $\begin{array}{l}A=\frac{4}{3+\sqrt{5}}-\frac{8}{1+\sqrt{5}}+\frac{15}{\sqrt{5}}\\ \end{array}$ 

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=\frac{4}{3+\sqrt{5}}-\frac{8}{1+\sqrt{5}}+\frac{15}{\sqrt{5}}\\ =\frac{4(3-\sqrt{5})}{4}-\frac{8(1-\sqrt{5})}{-4}+\frac{15\sqrt{5}}{5}=3-\sqrt{5}+2-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính giá trị của biểu thức sau: B=2+22−1+2−22−1 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị của biểu thức sau: $\mathit{B}\mathbf{=}\sqrt{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\sqrt{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}}\mathbf{+}\sqrt{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\sqrt{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{1}}}$ 

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}B=\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}-1}}+\sqrt{\sqrt{2}-2\sqrt{\sqrt{2}-1}}\\ =\sqrt{{(\sqrt{\sqrt{2}-1}+1)}^2}+\sqrt{{(\sqrt{\sqrt{2}-1}-1)}^2}\\ =\sqrt{\sqrt{2}-1}+1+1-\sqrt{\sqrt{2}-1}\\ =2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Rút gọn biểu thức: C=a2−aa+a+1−a2+aa−a+1+a+1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $C=\frac{a^2-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}+a+1$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}C=\frac{a^2-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}+a+1(DK:a\ge 0)\\ C=\frac{\sqrt{a}\left[{\left(\sqrt{a}\right)}^3-1\right]}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}\left[{\left(\sqrt{a}\right)}^3+1\right]}{a-\sqrt{a}+1}+a+1\end{array}\begin{array}{l}=\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)-\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)+a+1\\ =a-\sqrt{a}-a-\sqrt{a}+a+1\\ ={\left(\sqrt{a}–1\right)}^2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải phương trình: 13x−1+12x+4=19x−2+15−4x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình: $\frac{1}{3x-1}+\frac{1}{2x+4}=\frac{1}{9x-2}+\frac{1}{5-4x}$

   Trả lời:

   $\frac{1}{3x-1}+\frac{1}{2x+4}=\frac{1}{9x-2}+\frac{1}{5-4x}ĐK: x\ne \frac{1}{3},x\ne -2,x\ne \frac{2}{9},x\ne \frac{5}{4}$Ta có pt: $\frac{5x+3}{(3x-1)(2x+4)}=\frac{5x+3}{(9x-2)(5-4x)}$$\begin{array}{l}<=>\left[\begin{array}{l}x=\frac{-3}{5}\\ (3x-1)(2x+4)=(9x-2)(5-4x)\end{array}\right.<=>\left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}\\ 6x^2+12x-2x-4=-36x^2+45x+8x-10\end{array}\right.\\ <=>\left[\begin{array}{l}x=-\frac{3}{5}\left(TM\right)\\ x=\frac{6}{7}\left(TM\right)\\ x=\frac{1}{6}\left(TM\right)\end{array}\right.\end{array}$Vậy phương trình đã có có 3 nghiệm phân biệt như trên.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: x+y=zx3+y3=z2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nghiệm nguyên dương của hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=z\\ x^3+y^3=z^2\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Ta có: $x^3+y^3={(x+y)}^2<=>(x+y)(x^2-xy+y^2-x-y)=0$Vì x, y nguyên dương nên x+y > 0, ta có: $x^2-xy+y^2-x-y=0$$\begin{array}{l}\iff 2(x^2-xy+y^2-x-y)=0\\ \iff {\left(x–y\right)}^2+{\left(x–1\right)}^2+{(y–1)}^2=2\end{array}$Vì x, y nguyên nên có 3 trường hợp: + Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}x-y=0\\ {\left(x–1\right)}^2=1\iff x=y=2,z=4\\ {\left(y–1\right)}^2=1\end{array}\right.$+ Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ {\left(x–y\right)}^2=1\iff x=1,y=2,z=3\\ {\left(y–1\right)}^2=1\end{array}\right.$+ Trường hợp 3: $\left\{\begin{array}{l}y-1=0\\ {\left(x–y\right)}^2=1\\ {\left(x–1\right)}^2=1\end{array}\right.\iff x=2,y=1,z=3$Vậy hệ có 3 nghiệm (1,2,3);(2,1,3);(2,2,4)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====