Chứng minh biểu thức S=n3n+22+n+1n3−5n+1−2n−1 chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Câu hỏi:

Chứng minh biểu thức $S=n^3{\left(n+2\right)}^2+\left(n+1\right)\left(n^3-5n+1\right)-2n-1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Trả lời:

Ta có: $S=n\left(n^4+5n^3+5n^2-5n-6\right)=n[\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\right)\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{6}\right)\mathrm{+}\mathrm{5}n\left(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\right)]=n(n^{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1})(n^{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{5}n\mathrm{+}\mathrm{6})=n(n\mathrm{-}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{2})(n\mathrm{+}\mathrm{3})=(n\mathrm{-}\mathrm{1})n(n\mathrm{+}\mathrm{1})(n\mathrm{+}\mathrm{2})(n\mathrm{+}\mathrm{3})$Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biểu thức: P=xx+2+−x+xx+6x+x−2−x+1x−1, với x≥0, x≠1. Rút gọn biểu thức P.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biểu thức: $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$, với $x\ge 0, x\ne 1$. Rút gọn biểu thức P.

   Trả lời:

   Ta có:$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{-x+x\sqrt{x}+6}{x+\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-x+x\sqrt{x}+6-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-\sqrt{x}-x+x\sqrt{x}+6-x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{-x+x\sqrt{x}-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-4\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\sqrt{x}-2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho biểu thức Q=x+27.Px+3x−2, với x≥0, x≠1, x≠4. Chứng minh Q≥6. với biểu thức P ở câu 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biểu thức $Q=\frac{\left(x+27\right).P}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$, với $x\ge 0, x\ne 1, x\ne 4$. Chứng minh $Q\ge 6.$ với biểu thức P ở câu 1

   Trả lời:

   Với $x\ge 0, x\ne 1, x\ne 4$ ta có:$Q=\frac{\left(x+27\right).P}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x+27}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-9+36}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{36}{\sqrt{x}+3}=-6+\left(\sqrt{x}+3\right)+\frac{36}{\sqrt{x}+3}\ge -6+12=6$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho phương trình : x2−2m−1x+m2−3=0( x là ẩn,m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho x12+4×1+2×2−2mx1=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phương trình : $x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-3=0$( x là ẩn,m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ sao cho $x_1^2+4x_1+2x_2-2m{x}_1=1.$

   Trả lời:

   Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }^{‘}\ge 0\iff -2m+4\ge 0\iff m\le 2\left(\text{1}\right)$.Theo hệ thức Vi-ét: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\left(m-1\right)\\ x_1.x_2=m^2-3\end{array}\right.$Mà $x_1^2+4x_1+2x_2-2m{x}_1=1\iff x_1\left(x_1-2m+2\right)+2\left(x_1+x_2\right)=1\iff -x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)=1\iff -m^2+3+4\left(m-1\right)=1\iff m^2-4m+2=0\iff \left[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{2}\\ m=2-\sqrt{2}\end{array}\right.\left(\text{2}\right)$Từ (1) và (2) suy ra $m=2-\sqrt{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải phương trình x+27−x=2x−1+−x2+8x−7+1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1.$

   Trả lời:

   Điều kiện $1\le x\le 7$Ta có: $x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1$$\iff 2\left(\sqrt{7-x}-\sqrt{x-1}\right)+\left(x-1\right)-\sqrt{\left(x-1\right)\left(7-x\right)}=0\iff 2\left(\sqrt{7-x}-\sqrt{x-1}\right)+\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}\right)=0\iff \left(\sqrt{7-x}-\sqrt{x-1}\right)\left(2-\sqrt{x-1}\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=2\\ \sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=4\end{array}\right.(t/m)$Vậy phương trình có hai nghiệm x= 4 và x= 5

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải hệ phương trình: 4x+1−xyy2+4=0            1×2−xy2+1+3x−1=xy2     2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\left(\text{1}\right)\\ \sqrt{x^2-x{y}^2+1}+3\sqrt{x-1}=x{y}^2\left(\text{2}\right).\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ x^2-x{y}^2+1\ge 0\end{array}\right.$kết hợp với phương trình (1), ta có y>0Từ (1) ta có:$4\sqrt{x+1}-xy\sqrt{y^2+4}=0\iff 4\sqrt{x+1}=xy\sqrt{y^2+4}\iff 16\left(x+1\right)=x^2{y}^2\left(y^2+4\right)\iff \left(y^4+4y^2\right)x^2-16x-16=0$Giải phương trình theo ẩn x ta được $x=\frac{4}{y^2}$ hoặc $x=\frac{-4}{y^2+4}<0$ (loại)Với $x=\frac{4}{y^2}\iff x{y}^2=4$ thế vào phương trình (2), ta được $\sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4$Điều kiện $x\ge \sqrt{3}$ ta có$\sqrt{x^2-3}+3\sqrt{x-1}=4\iff \left(\sqrt{x^2-3}-1\right)+3\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\iff \frac{x^2-4}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}+1}=0\iff \left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0\iff x-2=0 (vì \frac{x+2}{\sqrt{x^2-3}+1}+\frac{3}{\sqrt{x-1}+1}>0)\iff x=2.$Với x= 2 ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}^2=2\\ y>0\end{array}\right.\iff y=\sqrt{2}$ Kết hợp với điều  kiện trên, hệ phương trình có nghiệm $\left(2;\sqrt{2}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====