Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.1.     Tính số đo góc BIF

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D,E,F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB,AC,BC. Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF và DF lần lượt tại I và K.
1.     Tính số đo góc BIF

Trả lời:

1.     Vì BD, BF là các tiếp tuyến của (O) nên OD ⊥ BD, OF ⊥ BF.Xét 2 tam giác vuông OBD và OBF có$\left.\begin{array}{l}OB\text{ chung}\\ \text{OBD=OBF(gt)}\end{array}\right\}=>\Delta OBD=\Delta OBF$ (cạnh huyền–góc nhọn)⇒ BD = BFMà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.Mà OD = OF = r nên OB là trung trực của DF ⇒ OB ⊥ DF ⇒ ∆ KIF vuông tại K.$DOE={90}^o$Theo quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm cho đường tròn (O), ta có:$DFE=\frac{1}{2}DOE={45}^o$⇒ ∆ KIF vuông cân tại K.=>BIF=45^o

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Rút gọn biểu thức: A=1x+x−2xx−1+1x−x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}+(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính giá trị biểu thức: B=85+6273+85−6273
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị biểu thức: $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$

   Trả lời:

   $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$Đặt $a=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}};b=\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=>a+b=B$Mặt khác $a^3+b^3=(85+62\sqrt{7})+(85-62\sqrt{7})=170ab=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{85}^2-{\left(62\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt[3]{-19683}=-27$Ta có: $\begin{array}{l}{B}^3={\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ =170-\mathrm{3.27.}B\\ =>B^3+81B-170=0\\ =>(B-2)\left(\underset{>0}{\underbrace{B^2+2B+85}}\right)=0\\ =>B=2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình x+2y=2m+14x+2y=5m−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.\left(1\right)\begin{array}{l}\left(1\right)<=>\left\{\begin{array}{l}m=\frac{x+2y-1}{2}\\ m=\frac{4x+2y+1}{5}\end{array}\right.=>\frac{x+2y-1}{2}=\frac{3x+2y+1}{5}\\ =>5(x+2y-1)=2(4x+2y+1)=>3x-6y+7=0\end{array}$Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x₀; y₀) thì $3x_0-6y_0+7=0=>6y_0-7=3x_0⋮3=>7⋮3$ (vô lý) Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên ∀ m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn y1+y2=2(x1+x2)−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) thỏa mãn $y_1+y_2=2(x_1+x_2)-1$

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: $x^2-mx+2=0$ (1)P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > $2\sqrt{2}$ hoặc m<-$2\sqrt{2}$Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.Ta có: $\begin{array}{l}{y}_1+y_2=2(x_1+x_1)-1\\ <=>m{x}_1-2+m{x}_2-2=2(x_1+x_2)-1\\ <=>(m-2)(x_1+x_2)-3=0\\ <=>m(m-2)-3=0\\ <=>m^2-2m-3=0\end{array}$⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình x2−9−x2−16=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1$

   Trả lời:

   $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1 \left(1\right)$ĐK: x² ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ –4.$\begin{array}{l}\left(I\right)<=>\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>x^2-9=x^2-16+2\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>6=2\sqrt{x^2-16}\\ <=>3=\sqrt{x^2-16}\\ <=>x^2-25=0\\ <=>x=\pm 5\end{array}$(thỏa mãn điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={–5;5}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====