Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H1. Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp2. Chứng minh: AB.AF = AC.AE3. BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN4. Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H1. Chứng minh tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp2. Chứng minh: AB.AF = AC.AE3. BE và CF lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai là M và N. Chứng minh EF // MN4. Giả sử B và C cố định; A thay đổi. Tìm vị trị của A sao cho tam giác AEH có diện tích lớn nhất

Trả lời:

1. Xét tứ giác BFEC có:∠BFC = ${90}^0$ (CF là đường cao)∠BEC = ${90}^0$ (BE là đường cao)=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.2. Xét ΔABE và ΔACF có:∠BAC là góc chung∠AEB = ∠AFC = ${90}^0$=> ΔABE ∼ ΔACF (g.g)=> $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AE}{AF}$=> AB.AF = AC.AE3. Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp=> ∠EFC = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)Xét (O) có: ∠CNM = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)=> ∠EFC = ∠CNMMà 2 góc này ở vị trí đồng vị=> EF // MN4. Kẻ đường kính AA’, Nối A’H cắt BC tại KTa có: ∠ABA’ = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=> AB ⊥ BA’HC ⊥ AB (HC là đường cao)=> BA’ // HCTương tự: ∠ ACA’ = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=> AC ⊥ CA’HB⊥AC (BH là đường cao)=> CA’ // HBXét tứ giác BA’CH có:$\left\{\begin{array}{l}BA‘//HC\\ CA‘//HB\end{array}\right.$ => Tứ giác BA’ CH là hình bình hành2 đường chéo BC và A’H giao nhau tại K=> K là trung điểm của A’H và BCDo B, C,O cố định nên OK cố địnhXét tam giác AHA’ có:O là trung điểm của AA’K là trung điểm của A’H=> OK là đường trung bình của tam giác AHA’=> OK = 1/2AH => AH = 2OKTa có:4S_AHE = 2AE.EH => AE² + EH² = AH² = 4OK²=> S_AHE => OK²Dấu bằng xảy ra khi AE = EH=> ΔAHE cân tại E => ∠HAE = ${45}^0$ => ∠CAB = ${45}^0$Vậy điểm A nằm trên đường tròn sao cho ∠CAB = ${45}^0$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. 1. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau xác định x+2×2. Rút gọn biểu thức sau:A = (1x-1 + xx-1).x-x2x+1 với x≥0; x≠1
   
   

   Câu hỏi:
   

   1. Với giá trị nào của x thì biểu thức sau xác định $\frac{\sqrt{x+2}}{x}$2. Rút gọn biểu thức sau:A = ($\frac{1}{\sqrt{x}–1}$ + $\frac{\sqrt{x}}{x–1}$).$\frac{x–\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$ với x≥0; x≠1

   Trả lời:

   1. Biểu thức xác định khi: $\left\{\begin{array}{l}x+2\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge –2\\ x\ne 0\end{array}\right.\right.$Vậy với x ≥ –2; x ≠ 0 thì biểu thức trên xác định2. A =  với x≥0; x≠1

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hệ phương trình sau: mx+y=52mx+3y=6a, Giải hệ phương trình trên khi m = 2b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hệ phương trình sau: $\left\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2mx+3y=6\end{array}\right.$a, Giải hệ phương trình trên khi m = 2b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m

   Trả lời:

   a, Khi m = 2, ta có hệ phương trình:$\left\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 4x+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4x+2y=10\\ 4x+3y=6\end{array}\right.\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}y=–4\\ 4x+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=–4\\ x=9/2\end{array}\right.\right.$Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (9/2;–4)b, $\left\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2mx+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=5–mx\\ 2mx+3\left(5–mx\right)=6\end{array}\right.\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}y=5–mx\\ mx=9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=–4\\ mx=9\end{array}\right.\right.$Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0Khi đó, hệ phương trình có nghiệm:$\left\{\begin{array}{l}y=–4\\ x=9/m\end{array}\right.$Theo bài ra: (2m – 1)x + (m + 1)y = m⇔ (2m – 1). 9/m + (m+1)( –4) = m⇔ 18 – 9/m – 4m – 4 = m=>18m – 9 – 4m² – 4m – m² = 0⇔ –5m² + 14m – 9 = 0Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn m ≠0Vậy m = 1 hoặc m = 9/5 thỏa mãn ĐK

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho phương trình bậc hai: x2-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhấtR = 2x1x2+3×12+x22+21+x1x2Tìm giá trị lớn nhất đó
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho phương trình bậc hai: $x^2–mx+m–1=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhấtR = $\frac{2x_1{x}_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(1+x_1{x}_2\right)}$Tìm giá trị lớn nhất đó

   Trả lời:

   $x^2–mx+m–1=0$Δ = $m^2–4\left(m–1\right)=m^2–4m+4={\left(m–2\right)}^2\ge 0\forall m$Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm x₁; x₂ với mọi mTheo định lí Vi-et, ta có:Ta có: ${\left(m–1\right)}^2\ge 0\forall m$=> 1 – $\frac{{\left(m–1\right)}^2}{m^2+2}$ ≥ 1 hay R ≥ 1Dấu bằng xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1Vậy GTLN của R là 1 đạt được khi m = 1

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trìnhMột ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trìnhMột ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120km trong một thời gian quy định . Sau khi đi được một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.

   Trả lời:

   Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h) (x > 0)Thời gian dự định đi của ô tô là $\frac{120}{x}$ (h)Quãng đường còn lại sau khi ô tô đi được 1 giờ là: 120 – x (km)tô đi trên quãng đường còn lại với vận tốc là x + 6 (km/h)Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là $\frac{120–x}{x+6}$ (h)Theo bài ra ta có phương trình:$\frac{120}{x}$ = 1 + $\frac{1}{6}$ + $\frac{120–x}{x+6}$Do x > 0 nên x = 48Vậy vận tốc dự định của ô tô là 48 km/h

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====