Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc CAB^,  ABC^ ,  BCA^ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh DIJ^ = DFC^ .

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Biết ba góc $\widehat{\text{CAB}},\widehat{\text{ABC}},\widehat{\text{\hspace{0.17em}BCA}}$ đều là góc nhọn. Gọi M là trung điểm của đoạn AH.3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh $\widehat{\text{DIJ}}=\widehat{\text{DFC}}$.

Trả lời:

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEFTứ giác BFEC có $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}={90}^0$=> tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BCGọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC thì O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF$∆$OBE cân tại O (do OB=OE) => $\widehat{OBE}=\widehat{OEB}$$∆$AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH (Vì M là trung điểm AH)=> ME=AH:2= MH do đó $∆$MHE cân tại M=> $\widehat{MEH}=\widehat{MHE}=\widehat{BHD}$Mà $\widehat{BHD}+\widehat{OBE}={90}^0$($∆$HBD vuông tại D) Nên $\widehat{OEB}+\widehat{MEH}={90}^0$ Suy ra $\widehat{MEO}={90}^0$$\Rightarrow EM\perp OE$ tại E thuộc ( O ) => EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF4) Gọi I và J tương ứng là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh $\widehat{\text{DIJ}}=\widehat{\text{DFC}}$Tứ giác AFDC có $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}={90}^0$ nên tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn => $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$$∆$BDF và $∆$BAC có $\widehat{BDF}=\widehat{BAC}$ (cmt); $\widehat{B}$ chung do đó $∆$BDF $~$ $∆$BAC(g-g)Chứng minh tương tự ta có $∆$DEC $~$ $∆$ABC(g-g)Do đó $∆$DBF$~$$∆$DEC $\Rightarrow \widehat{BDF}=\widehat{EDC}\Rightarrow \widehat{BDI}=\widehat{IDF}=\widehat{EDJ}=\widehat{JDC}\Rightarrow \widehat{IDJ}=\widehat{FDC}$(1)Vì $∆$DBF$~$$∆$DEC (cmt); DI là phân giác, DJ là phân giác $\Rightarrow \frac{DI}{DF}=\frac{DJ}{DC}$ (2)Từ (1) và (2) suy ra $∆$DIJ$~$$∆$DFC (c-g-c) => $\widehat{\text{DIJ}}=\widehat{\text{DFC}}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Giải phương trình  x2 −  9x + 20=0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình  $x^2-9x+20=0$

   Trả lời:

   Cách 1: $x^2-9x+20=0$$∆$=81-80=1>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{9+1}{2}=5;x_2=\frac{9-1}{2}=4$Vậy phương trình có tập nghiệm S={4;5} Cách 2: $x^2-9x+20=0=0\iff x^2-5x-4x+20=0\iff (x-5)(x-4)=0\iff \left[\begin{array}{l}x-5=0\\ x-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=4\end{array}\right.$Vậy phương trình có tập nghiệm S={4;5}

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Giải hệ phương trình 7x − 3y = 44x  +y = 5
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}7x-3y=4\\ 4x+y=5\end{array}\right.$

   Trả lời:

   $\left\{\begin{array}{l}7x-3y=4\\ 4x+y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7x-3y=4\\ 12x+3y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}19x=19\\ 4x+y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$Vậy hệ phương trình có nghiêm duy nhất (x;y)=(1;1)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giải phương trình  x4 −2×2 −3=0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình  $x^4-2x^2-3=0$

   Trả lời:

   Cách 1:$x^4-2x^2-3=0\iff x^4-3x^2+x^2-3=0\iff (x^2-3)(x^2+1)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-3=0\\ x^2+1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{3}\\ Vn(x^2\ge 0\Rightarrow x^2+1>0)\end{array}\right.$Vây phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$Cách 2: Đặt t=x² ($t\ge 0)$ ta có phương trình t²-2t-3=0 (2)Ta có a-b+c=1+2-3=0 nên phương trình (2) có 2 nghiệm t₁=-1(loại);t₂=3(nhận)Với t₂=3$\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hai hàm số y = −12×2 và y = x − 4 có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )1) Vẽ  hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và $y=x-4$ có đồ thị lần lượt là ( P ) và ( d )1) Vẽ  hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị ( P ) và ( d ).

   Trả lời:

   1) Vẽ  hai đồ thị ( P ) và ( d ) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.*$y=-\frac{1}{2}{x}^2$Hàm số xác định với mọi x$\in ℝ$Bảng giá trịx-2-1012y-2-0,50-0,5-2Nhận xét: Đồ thị hs là một parabol đi qua gốc tọa độ,nhận trục tung làm trục đối xứng nằm phía dưới trục hoành,O là điểm cao nhất*y=x-4Đồ thị hs là đường thẳng đi qua hai điểm (0;-4) và (4;0) 
             2)Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
   $-\frac{1}{2}{x}^2=x-4\iff x^2-2x-8=0$${\Delta }^{‘}=1+8=9>0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x₁=2;x₂=-4x₁=2 => y₁=-2       ; x₂=-4 => y₂=-8Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (2;-2) và (-4;-8)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho a > 0 và a≠4 . Rút gọn biểu thức T= a− 2a+2 − a+ 2a−2 . a − 4a 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho a > 0 và a$\ne$4 . Rút gọn biểu thức $T=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}\right).\left(\sqrt{a}-\frac{4}{\sqrt{a}}\right)$

   Trả lời:

   Với a > 0 và a$\ne$4 , ta có$T=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}\right).\left(\sqrt{a}-\frac{4}{\sqrt{a}}\right)=\left(\frac{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2-{\left(\sqrt{a}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}-2\right).\left(\sqrt{a}+2\right)}\right).\left(\frac{a-4}{\sqrt{a}}\right)=\left(\frac{a-4\sqrt{a}+4-a-4\sqrt{a}-4}{a-4}\right).\left(\frac{a-4}{\sqrt{a}}\right)=\frac{-8\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=-8$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====