Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất

Câu hỏi:

Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất

Trả lời:

Ta có ABCD là hình thang vuông tại C và DMà O Là trung điểm AB và OM vuông góc với CD( tiếp tuyến của (O)=> AD+BC=2OM=2R.  Chú ý rằng CD ≤ AB (hình chiếu đường xiên)=> $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(AD+BC\right).CD$= R.CD ≤ R.AB = 2$R^2$Do đó $S_{ABCD}$ lớn nhất khi CD=AB hay M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:a, Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O)b, Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:a, Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O)b, Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy

   Trả lời:

   a, Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O)=> OA$\perp$BC=> OA$\perp$AD (vì AD//BC)=> AD là tiếp tuyến của (O)b, Chứng minh được ON là tia phân giác của $\widehat{AOD}$ mà ∆OAC cân tại O nên ON cũng là đường trung tuyến => ON cắt AC tại trung điểm I của AC => ON,AC,BD cùng đi qua trung điểm I của AC

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). Hãy dựng tiếp tuyến của (O) sao cho tiếp tuyến đó song song vói d
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không cắt (O). Hãy dựng tiếp tuyến của (O) sao cho tiếp tuyến đó song song vói d

   Trả lời:

   Từ O hạ OH vuông góc với d. OH cắt (O) tại A và B. Qua A và B kẻ các đường vuông góc với OA và OB ta được hai (hoặc một nếu d là tiếp tuyến của (O)) tiếp tuyến song song với d.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại Fa, Chứng minh: COD^=900b, Tứ giác MEOF là hình gì?c, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại Fa, Chứng minh: $\widehat{COD}={90}^0$b, Tứ giác MEOF là hình gì?c, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

   Trả lời:

   a, Dễ thấy $\widehat{AMB}={90}^0$ hay $\widehat{EMF}={90}^0$ tiếp tuyến CM,CA=> OC$\perp$AM => $\widehat{OEM}={90}^0$ Tương tự => $\widehat{OFM}={90}^0$Chứng minh được ∆CAO = ∆CMO => $\widehat{AOC}=\widehat{MOC}$=> OC là tia phân giác của $\widehat{AMO}$Tương tự OD là tia phân giác của $\widehat{BOM}$ suy ra OC$\perp$OD <=> $\widehat{COD}$b, Do ∆AOM cân tại O nên OE là đường phân giác đồng thời là đường cao=> $\widehat{OEM}={90}^0$ chứng minh tương tự $\widehat{OFM}={90}^0$Vậy MEOF là hình chữ nhậtc, Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO//AC//BD và IO vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) với D, E là các tiếp diêm. Chứng minh:a, Ba điểm D, A, E thẳng hàngb, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AH) với D, E là các tiếp diêm. Chứng minh:a, Ba điểm D, A, E thẳng hàngb, DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

   Trả lời:

   a, Vì BH, BD là tiếp tuyến của (A;AH)=> $\widehat{HAD}=2\widehat{HAB}$Vì CH,CE là tiếp tuyến của  (A;AH)=> $\widehat{HAE}=2\widehat{HAC}$=> $\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)={180}^0$=> D,A,E thẳng hàngb, HS tự làm

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đường tròn (O; 6 cm) và điểm A nằm trên (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8 cma, Tính độ dài đoạn thẳng OBb, Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường tròn (O; 6 cm) và điểm A nằm trên (O). Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8 cma, Tính độ dài đoạn thẳng OBb, Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt (O) tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O)

   Trả lời:

   a, Tính được OB=10cmb, Ta có ∆OBC = ∆OBA (c.g.c) => BC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====