Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1a+1b+1c≤3 . Chứng minh rằng: a1+b2+b1+c2+c1+a2+12(ab+bc+ca)≥3

Câu hỏi:

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3$ . Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\ge 3$

Trả lời:

Ta chứng minh BĐT$\begin{array}{l}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 9(*)\\ (*)<=>3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})\ge 9\end{array}$Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương ta có:$\begin{array}{l}\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2\\ \frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge 2\end{array}$=>(*) đúng $=>\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le 3=>a+b+c\ge 3$Trở lại bài toán: Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương ta có $1+b^2\ge 2b$Ta có: $\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{a{b}^2}{1+b^2}\ge a-\frac{a{b}^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\left(1\right)$ Tương tự ta có: $\begin{array}{l}\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}\left(2\right)\\ \frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\left(3\right)\end{array}$ Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:$\begin{array}{l}\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\\ =>\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}+\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\ge a+b+c\ge 3\end{array}$ 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Rút gọn biểu thức: A=1x+x−2xx−1+1x−x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Rút gọn biểu thức: $A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}A=\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}}\\ =\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}\\ =\frac{(\sqrt{x}-1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}+(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\\ =\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính giá trị biểu thức: B=85+6273+85−6273
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính giá trị biểu thức: $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$

   Trả lời:

   $B=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}+\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}$Đặt $a=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}};b=\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=>a+b=B$Mặt khác $a^3+b^3=(85+62\sqrt{7})+(85-62\sqrt{7})=170ab=\sqrt[3]{85+62\sqrt{7}}\sqrt[3]{85-62\sqrt{7}}=\sqrt[3]{{85}^2-{\left(62\sqrt{7}\right)}^2}=\sqrt[3]{-19683}=-27$Ta có: $\begin{array}{l}{B}^3={\left(a+b\right)}^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ =170-\mathrm{3.27.}B\\ =>B^3+81B-170=0\\ =>(B-2)\left(\underset{>0}{\underbrace{B^2+2B+85}}\right)=0\\ =>B=2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình x+2y=2m+14x+2y=5m−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.$

   Trả lời:

   $\left\{\begin{array}{l}x+2y=2m+1\\ 4x+2y=5m-1\end{array}\right.\left(1\right)\begin{array}{l}\left(1\right)<=>\left\{\begin{array}{l}m=\frac{x+2y-1}{2}\\ m=\frac{4x+2y+1}{5}\end{array}\right.=>\frac{x+2y-1}{2}=\frac{3x+2y+1}{5}\\ =>5(x+2y-1)=2(4x+2y+1)=>3x-6y+7=0\end{array}$Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x₀; y₀) thì $3x_0-6y_0+7=0=>6y_0-7=3x_0⋮3=>7⋮3$ (vô lý) Vậy hệ phương trình không có nghiệm nguyên ∀ m.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x2 cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x1;y1) và B(x2;y2) thỏa mãn y1+y2=2(x1+x2)−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² cắt đường thẳng d: y = mx – 2 tại 2 điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) thỏa mãn $y_1+y_2=2(x_1+x_2)-1$

   Trả lời:

   Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d: $x^2-mx+2=0$ (1)P) cắt d tại hai điểm phân biệt A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ = m² – 4.2 > 0 ⇔ m² > 8 ⇔ m > $2\sqrt{2}$ hoặc m<-$2\sqrt{2}$Khi đó x₁, x₂ là nghiệm của (1). Áp dụng định lí Vi–ét ta có x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = 2.Do A, B ∈ d nên y₁ = mx₁ – 2 và y₂ = mx₂ – 2.Ta có: $\begin{array}{l}{y}_1+y_2=2(x_1+x_1)-1\\ <=>m{x}_1-2+m{x}_2-2=2(x_1+x_2)-1\\ <=>(m-2)(x_1+x_2)-3=0\\ <=>m(m-2)-3=0\\ <=>m^2-2m-3=0\end{array}$⇔ m = –1 (loại) hoặc m = 3 (thỏa mãn) Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giải phương trình x2−9−x2−16=1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giải phương trình $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1$

   Trả lời:

   $\sqrt{x^2-9}-\sqrt{x^2-16}=1 \left(1\right)$ĐK: x² ≥ 16 ⇔ x ≥ 4 hoặc x ≤ –4.$\begin{array}{l}\left(I\right)<=>\sqrt{x^2-9}=\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>x^2-9=x^2-16+2\sqrt{x^2-16}+1\\ <=>6=2\sqrt{x^2-16}\\ <=>3=\sqrt{x^2-16}\\ <=>x^2-25=0\\ <=>x=\pm 5\end{array}$(thỏa mãn điều kiện)Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={–5;5}.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====