Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng 5a+4+5b+4+5c+4≥7

Câu hỏi:

Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng $\sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge 7$

Trả lời:

Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên $0\le a,b,c\le 1\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a(1-a)\ge 0\\ b(1-b)\ge 0\\ c(1-c)\ge 0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a\ge a^2\\ b\ge b^2\\ c\ge c^2\end{array}\right.\Rightarrow \sqrt{5a+4}\ge \sqrt{a^2+4a+4}=\sqrt{{(a+2)}^2}=a+2Tương tự: \sqrt{5b+4}\ge b+2;\sqrt{5c+4}\ge c+2\Rightarrow \sqrt{5a+4}+\sqrt{5b+4}+\sqrt{5c+4}\ge (a+b+c)+6=7 \left(đpcm\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho biểu thức P=1+a1+a−1−a+1−a1−a2−1+a1a2−1−1a với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho biểu thức $P=\left(\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}-1+a}\right)\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-1}-\frac{1}{a}\right)$ với 0 < a < 1. Chứng minh rằng P = –1

   Trả lời:

   Với 0 < a < 1 ta có:$\begin{array}{l}P=\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}{\sqrt{\left(1-a\right)\left(1+a\right)}-{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}\right]\left(\sqrt{\frac{1-a^2}{a^2}}-\frac{1}{a}\right)\\ =\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{{\left(\sqrt{1-a}\right)}^2}{\sqrt{1-a}\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}\right]\left[\sqrt{\frac{(1-a)(1+a)}{a^2}}-\frac{1}{a}\right]\\ =\left[\frac{\sqrt{1+a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}+\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}\right]\left(\frac{\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}}{a^2}-\frac{1}{a}\right)\\ =\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\frac{2\sqrt{1-a}.\sqrt{1+a}-(1-a)-(1+a)}{2a}\\ =\frac{\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}}.\frac{-{\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}^2}{2a}\\ =-\frac{\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1-a}\right)\left(\sqrt{1+a}-\sqrt{1-a}\right)}{2a}\\ =-\frac{1+a-1+a}{2a}=-\frac{2a}{2a}=-1\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y1, y2 là tung độ của A, B. Tìm m sao cho |y12−y22|=35
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi y₁, y₂ là tung độ của A, B. Tìm m sao cho $|y_1^2-y_2^2|=3\sqrt{5}$

   Trả lời:

   b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P): $-x^2=2mx-1\iff x^2+2mx-1=0$Phương trình (*) có ∆’ = m² + 1 > 0 ⇒ (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ∀ m hay d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.Áp dụng Viét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m\\ x_1{x}_2=-1\end{array}\right.\Rightarrow |x_1-x_2|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2}=\sqrt{{(x_1+x_2)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{4m^2+4}=2\sqrt{m^2+1}$Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}{y}_1=2m{x}_1-1\\ y_2=2m{x}_2-1\end{array}\right.\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=|{(2m{x}_1-1)}^2-{(2m{x}_2-1)}^2|\begin{array}{l}\Rightarrow |y_1^2-y_2^2|=\left|\right(2m{x}_1-1-2m{x}_2+1\left)\right(2m{x}_1-1+2m{x}_2-1\left)\right|=\left|4m\right(x_1-x_2\left)\text{[}m\right(x_1+x_2)-1]|\\ =\left|4m\right(2m^2+1\left)\right(x_1-x_2\left)\right|=4\left|m(2m^2+1)\right||x_1-x_2|=4\left|m\right|(2m^2+1)2\sqrt{m^2+1}\end{array}$Ta có: $|y_1^2-y_2^2|=3\sqrt{5}\iff 64m^2{(2m^2+1)}^2(m^2+1)=45\iff 64(4m^4+4m^2+1)(m^4+m^2)=45$Đặt: $m^4+m^2=t\ge 0$có phương trình $64t(4t+1)=45\iff 256t^2+64t-45=0\iff t=\frac{5}{16} (vì t\ge 0)\Rightarrow m^4+m^2=\frac{5}{16}\iff 16m^4+16m^2-5=0\iff m=\pm \frac{1}{2}$Vậy $m=\pm \frac{1}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P): y = -x² và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m là tham số.a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P) khi m = 1

   Trả lời:

   a, Khi m = 1 ta có d : y = 2x – 1 và (P): y = –x²Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là:Với $x=-1+\sqrt{2}\Rightarrow y=-3+2\sqrt{2}$ Với $x=-1-\sqrt{2}\Rightarrow y=-3-2\sqrt{2}$Vậy các giao điểm là $\left(-1+\sqrt{2};-3+2\sqrt{2}\right);\left(-1-\sqrt{2};-3-2\sqrt{2}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Một người đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 120 km. Vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu không đổi, vận tốc trên 1/4 quãng đường AB sau bằng 1/2 vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu. Khi đến B, người đó nghỉ 30 phút và trở lại A với vận tốc lớn hơn vận tốc trên 3/4 quãng đường AB đầu tiên lúc đi là 10 km/h. Thời gian kể từ lúc xuất phát tại A đến khi xe trở về A là 8,5 giờ. Tính vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A?

   Trả lời:

   Gọi vận tốc của người đi xe máy trên 3/4 quãng đường AB đầu (90 km) là x (km/h) (x > 0)Vận tốc của người đi xe máy trên 1/4 quãng đường AB sau là 0,5x (km/h)Vận tốc của người đi xe máy khi quay trở lại A là x + 10 (km/h)Tổng thời gian của chuyến đi là $\frac{90}{x}+\frac{30}{0,5x}+\frac{120}{x+10}+\frac{1}{2}=8,5$$\iff \frac{90}{x}+\frac{60}{x}+\frac{120}{x+10}=8\iff \frac{150}{x}+\frac{120}{x+10}=8\iff 75(x+10)+60x=4x(x+10)\iff 4x^2-95x-750=0\iff x=30 (do x>0)$Vậy vận tốc của xe máy trên quãng đường người đó đi từ B về A là 30 + 10 = 40 (km/h)
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho ba điểm A, M, B phân biệt, thẳng hàng và M nằm giữa A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, dựng hai tam giác đều AMC và BMD. Gọi P là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

   Trả lời:

   a) Vì $CMA=DMB={60}^o\Rightarrow CMB=DMA={120}^o.$ Xét ∆ CMB và ∆ AMD có$\left\{\begin{array}{l}CM=AM\\ CMB=DMA\Rightarrow \Delta CMB=\Delta AMD(c.g.c)\\ MB=MD\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MCB=MAD\\ MBC=MDA\end{array}\right.$Suy ra AMPC và BMPD là các tứ giác nội tiếp

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====