Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD cắt đường cao BE tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên tia HM lấy Q sao cho HM = MQ.a) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành.b) Chứng minh CQ ⊥ AC và BQ ⊥ AB.c) Trên tia HD lấy P sao cho HD = DP. CHứng minh DM là đường trung bình của tam giác PHQ từ đó chứng minh tứ giác BPQC là hình thang cân.d) Gọi giao điểm của đoạn thẳng HP và đoạn thẳng BQ là G. Tam giác ABC cần bổ sung điều kiện gì để tứ giác HCQG là hình thang cân.

Câu hỏi:

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD cắt đường cao BE tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên tia HM lấy Q sao cho HM = MQ.a) Chứng minh tứ giác HCQB là hình bình hành.b) Chứng minh CQ ⊥ AC và BQ ⊥ AB.c) Trên tia HD lấy P sao cho HD = DP. CHứng minh DM là đường trung bình của tam giác PHQ từ đó chứng minh tứ giác BPQC là hình thang cân.d) Gọi giao điểm của đoạn thẳng HP và đoạn thẳng BQ là G. Tam giác ABC cần bổ sung điều kiện gì để tứ giác HCQG là hình thang cân.

Trả lời:

Hướng dẫn giảia) Tứ giác HCQB có:M là trung điểm của BC (gt)M là trung điểm của HQ (HM = MQ)⇒ Tứ giác HCQB là hình bình hành. (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).b) Vì HCQB là hình bình hành⇒ BH//CQ hay BE//CQMà BE ⊥ AC (BE là đường cao của ΔABC)⇒ CQ ⊥ AC (đpcm)Trong tam giác ABC có BE ⊥ AC, AD ⊥ BC và H là giao điểm của BE, AD⇒ CH là đường cao thứ 3 của ΔABC⇒ CH ⊥ AB. Gọi CH cắt AB tại F.Vì HCQB là hình bình hành⇒ FC//BQMà FC ⊥ AB (cmt)⇒ BQ ⊥ AB (đpcm)c) Tam giác PHQ có:M là trung điểm của HQD là trung điểm của HP⇒ DM là đường trung bình tam giác PHQ⇒ DM // PQ hay BC // PQ⇒ BPQC là hình thangXét tam giác PHC cóHP ⊥ BC (vì AH ⊥ BC)HD = DP (gt)⇒ Tam giác PHC là tam giác cân⇒ HC = PCMà HC = BQ (tính chất hình bình hành)⇒ BQ = PCXét hình thang BPQC có BQ = PC (cmt)⇒ BPQC là hình thang cân.d) Giả sử HCQG là hình thang cân\( \Rightarrow \widehat {HCQ} = \widehat {GHC}\)Mà \(\widehat {HCQ} + \widehat {HCA} = 90^\circ \) và \(\widehat {GHC} + \widehat {HCB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {HCA} = \widehat {HCB}\)⇒ CF là đường phân giác của tam giác ABCMà CF là đường cao của tam giác ABC⇒ Tam giác ABC cân tại C.Vậy tam giác ABC cân tại C thì HCQG là hình thang cân.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Thu gọn biểu thức:a) 5x3y : xy – 2×2+ 10;b) 2x(3x + 2) + (4x + 3)(2x – 1);c) (x + 2)2– (x + 5)(x – 5);d) (4x + 5)2– (8x + 10)(1 – 3x) + (1 – 3x)2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Thu gọn biểu thức:a) 5x³y : xy – 2x²+ 10;b) 2x(3x + 2) + (4x + 3)(2x – 1);c) (x + 2)²– (x + 5)(x – 5);d) (4x + 5)²– (8x + 10)(1 – 3x) + (1 – 3x)².

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) 5x³y : xy – 2x²+ 10= 5x²– 2x²+ 10= 3x²+ 10b) 2x(3x + 2) + (4x + 3)(2x – 1)= 6x²+ 4x + 8x²– 4x + 6x – 3= 14x²+ 6x – 3c) (x + 2)²– (x + 5)(x – 5)= x²+ 4x + 4 – x²+ 25= 4x + 29d) (4x + 5)²– (8x + 10)(1 – 3x) + (1 – 3x)²= (4x + 5)² – 2(4x + 5)(1 – 3x) + (1 – 3x)²⁼ [(4x + 5) – (1 – 3x)]²= (4x + 5 – 1+ 3x)²= (7x + 4)²= 49x²+ 56x + 16

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Phân tích đa thức thành nhân tử:a) 8×2+ 16xyb) 3(x + 12) – x2– 12xc) x2– 6x – z2+ 9d) x2– 2x – 15
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức thành nhân tử:a) 8x²+ 16xyb) 3(x + 12) – x²– 12xc) x²– 6x – z²+ 9d) x²– 2x – 15

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) 8x²+ 16xy= 8x(x + 2y)b) 3(x + 12) – x²– 12x= 3(x + 12) – x(x + 12)= (x + 12)(3 – x)c) x²– 6x – z²+ 9= (x²– 6x + 9) – z²= (x – 3)²– z²= (x – 3 + z)(x – 3 – z)d) x²– 2x – 15= x²– 5x + 3x – 15= x(x – 5) + 3(x – 5)= (x – 5)(x + 3)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm x:a) x(x + 4) – x2= 10b) 5×2+ 2x = 0c) x2– 16 = x + 4d) (4x – 1)2– (x + 7)2= 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm x:a) x(x + 4) – x²= 10b) 5x²+ 2x = 0c) x²– 16 = x + 4d) (4x – 1)²– (x + 7)²= 0

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) x(x + 4) – x²= 10x²+ 4x – x²= 104x = 10\(x = \frac{5}{2}\)Vậy \(x = \frac{5}{2}\)b) 5x²+ 2x = 0x(5x + 2) = 0\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\5x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{ – 2}}{5}\end{array} \right.\)Vậy x = 0 và \(x = \frac{{ – 2}}{5}\).c) x²– 16 = x + 4(x + 4)(x – 4) – (x + 4) = 0(x + 4)(x – 4 – 1) = 0(x + 4)(x – 5) = 0\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\x – 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4\\x = 5\end{array} \right.\)Vậy x = 4 và x = 5.d) (4x – 1)²– (x + 7)²= 0(4x – 1 – x – 7)(4x – 1 + x + 7) =0(3x – 8)(5x + 6) = 0\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3x – 8 = 0\\5x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{8}{3}\\x = \frac{{ – 6}}{5}\end{array} \right.\)Vậy \(x = \frac{8}{3}\) và \(x = \frac{{ – 6}}{5}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho x2y – y2x + x2z – z2x + y2z + z2y = 2xyz.Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z có ít nhất hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho x²y – y²x + x²z – z²x + y²z + z²y = 2xyz.Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z có ít nhất hai số bằng nhau hoặc đối nhau.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảix²y – y²x + x²z – z²x + y²z + z²y = 2xyz⇔ x²y + x²z – y²x – xyz – xyz – z²x + y²z + z²y = 0⇔ x(xy + xz – y2 – yz) – z(xy + zx – y2 – zy) = 0⇔ (xy + xz – y2 – yz)(x – z) = 0⇔ [x(y + z) – y(y + z)](x – z) = 0⇔ (y + z)(x – y)(x – z) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = – z\\x = y\\x = z\end{array} \right.\)⇒ 3 số x, y, z có ít nhất hai số bằng nhau hoặc đối nhau. (đpcm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====