Cho a+b+c=0. Chứng minh a4+b4+c4 bằng mỗi biểu thức1. 2a2b2+b2c2+c2a2.2. 2ab+bc+ca23. a2+b2+c222

Câu hỏi:

Cho $a+b+c=0$. Chứng minh $a^4+b^4+c^4$ bằng mỗi biểu thức1. $2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right).$2. $2{\left(ab+bc+ca\right)}^2$3. $\frac{{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}{2}$

Trả lời:

1. Bình phương hai vế của a+b+c=0, được:$a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\left(1\right)$Bình phương hai vế của (1) ta được: $a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$$=4\left[a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]$$=4\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$Suy ra $a^4+b^4+c^4=2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)$2. Bình phương hai vế của (1) ta được$a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)=4{\left(ab+bc+ca\right)}^2\left(2\right)$Từ (2) suy ra $2{\left(ab+bc+ca\right)}^2=\frac{a^4+b^4+c^4+2\left(a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2\right)}{2}\left(3\right)$Từ (3) và câu 1 suy ra $a^4+b^4+c^4=2{\left(ab+bc+ca\right)}^2$3. Bình phương hai vế của (1), chia cho 2,được: $\frac{{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}{2}=2{\left(ab+bc+ca\right)}^2=a^4+b^4+c^4$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng 3599 viết được dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1

   Trả lời:

   Ta có:$3599=3600-1={60}^2-1^2=\left(60+1\right)\left(60-1\right)=61.59$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức x2+2x+12+3x+22+4x+32
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng biểu thức sau viết dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức $x^2+2{\left(x+1\right)}^2+3{\left(x+2\right)}^2+4{\left(x+3\right)}^2$

   Trả lời:

   $\begin{array}{l}{x}^2+2{\left(x+1\right)}^2+3{\left(x+2\right)}^2+4{\left(x+3\right)}^2\\ =x^2+2\left(x^2+2x+1\right)+3\left(x^2+4x+4\right)+4\left(x^2+6x+9\right)\\ =x^2+2x^2+4x+2+3x^2+12x+12+4x^2+24x+36\\ =10x^2+40x+50\\ =\left(x^2+10x+25\right)+\left(9x^2+30x+25\right)\\ ={\left(x+5\right)}^2+{\left(3x+5\right)}^2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho x+y+z=0 và xy+yz+zx=0. Chứng minh rằng x=y=z.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx=0$. Chứng minh rằng $x=y=z$.

   Trả lời:

   Ta có: ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz$Mà $x+y+z=0$ và $xy+yz+zx=0$ nên ${}^2+y^2+z^2=0$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}^2=0\\ y^2=0\\ z^2=0\end{array}\right.\Rightarrow x=y=z=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính A=−12+22−32+42−…−992+1002
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }-{99}^2+{100}^2$

   Trả lời:

   $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }-{99}^2+{100}^2\begin{array}{l}=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left({100}^2-{99}^2\right)\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+99+100\\ =\frac{\mathrm{100\dots 101}}{2}=5050\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tính A=−12+22−32+42−…+−1n.n2
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }+{\left(-1\right)}^n.n^2$

   Trả lời:

   Xét hai trường hợp* Nếu n là chẵn thì$\begin{array}{l}A=\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left({100}^2-{99}^2\right)\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)+n\\ =\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{array}$*Nếu n là lẻ thì$\begin{array}{l}A=-1^2+2^2-3^2+4^2-\mathrm{\dots }+{\left(-1\right)}^n.n^2\\ =\left(2^2-1^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\mathrm{\dots }+\left[{\left(n-1\right)}^2-{\left(n-2\right)}^2\right]-n^2\\ =1+2+3+4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)-n^2\\ =\frac{n\left(n-1\right)}{2}-n^2\\ =-\frac{n\left(n+1\right)}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====