Cho ∆ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED//AB (D ∈ BC); EF//BC (F ∈ AB)a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.b) Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. CHứng minh rằng HB//AD.c) Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.d) ∆ABC cần thêm điều kiện gì để \(HF = \frac{{AB}}{2}\).

Câu hỏi:

Cho ∆ABC có E là trung điểm của AC. Qua E kẻ ED//AB (D ∈ BC); EF//BC (F ∈ AB)a) Chứng minh tứ giác BDEF là hình bình hành và D là trung điểm của đoạn thẳng BC.b) Gọi H là điểm đối xứng của D qua F. CHứng minh rằng HB//AD.c) Gọi I là trung điểm của HB; K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng.d) ∆ABC cần thêm điều kiện gì để \(HF = \frac{{AB}}{2}\).

Trả lời:

Hướng dẫn giảia)Xét tứ giác BDEF có EF // BD (vì EF//BC)ED // FB (vì ED//AB)Do đó tứ giác BDEF là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song)Tam giác ABC có:EA = EC (gt)ED // AB (gt)Do đó DB = DC hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.b) Vì H đối xứng D qua F⇒ F là trung điểm của HD (1)Vì E là trung điểm của AC và EF//BC⇒ F là trung điểm của AB (2)Từ (1) và (2) ⇒ tứ giác HABD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.⇒ AHBD là hình hình hành⇒ HB//AD.c) Xét tam giác HBD có:I là trung điểm của HBF trung điểm của HD⇒ IF// BD (3)Mà FE//BD (4)⇒ I, F, E thẳng hàng.⇒ I, K, E thẳng hàng.d) Để \(HF = \frac{{AB}}{2}\) thì \(\frac{{HD}}{2} = \frac{{AB}}{2}\)⇒ HD = ABHình bình hành AHBD có HD = AB⇒ AHBD là hình chữ nhật ⇒ AD vuông góc với BCXét tam giác ABC có AD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (D là trung điểm của BC)⇒ ΔABC cân tại A.Vậy ∆ABC cân tại A thì \(HF = \frac{{AB}}{2}\)

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai biểu thức.A = x2– x + 5 và B = (x – 1)(x + 2) – x(x – 2) – 3xa) Tính giá trị biểu thức A khi x = 2;b) Chứng tỏ B = – 2 với mọi giá trị của biến x;c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai biểu thức.A = x²– x + 5 và B = (x – 1)(x + 2) – x(x – 2) – 3xa) Tính giá trị biểu thức A khi x = 2;b) Chứng tỏ B = – 2 với mọi giá trị của biến x;c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = A + B.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) Tại x = 2⇒ A = 2²– 2 + 5 = 7Vậy tại x = 2 thì A = 7.b) B = (x – 1)(x + 2) – x(x – 2) – 3x= x²+ x – 2 – x²+ 2x – 3x= – 2 (đpcm)c) A + B = x²– x + 5 – 2= x²– x + 3\( = \left( {{x^2} – 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{{11}}{4}\)\( = {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4}\)Mà \({\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0{\rm{ }}\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} \ge \frac{{11}}{4}\)\( \Leftrightarrow C \ge \frac{{11}}{4}\)Dấu bằng xảy ra khi \({\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\)Vậy giá trị nhỏ nhất của C là \(\frac{{11}}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

2. Phân tích đa thức thành nhân tử:a) x2– 8x;b) x2– xy – 6x + 6y;c) x2– 6x + 9 – y2;d) x3+ y3+ 2x + 2y.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Phân tích đa thức thành nhân tử:a) x²– 8x;b) x²– xy – 6x + 6y;c) x²– 6x + 9 – y²;d) x³+ y³+ 2x + 2y.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) x²– 8x = x(x – 8)b) x²– xy – 6x + 6y= x(x – 6) – y(x – 6)= (x – 6)(x – y)^{c) x2}– 6x + 9 – y²= (x²– 6x + 9) – y²= (x – 3)²– y²= (x – 3 – y)(x – 3 + y)d) x³+ y³+ 2x + 2y= (x³+ y³) + 2(x + y)= (x + y)(x²– xy + y²) + 2(x + y)= (x + y)(x²– xy + y²+ 2)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

3. Tìm các số thực x, biết:a) (2x – 3)2– 49 = 0b) 2x(x – 5) – 7(5 – x) = 0c) x2– 3x – 10 = 0
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các số thực x, biết:a) (2x – 3)²– 49 = 0b) 2x(x – 5) – 7(5 – x) = 0c) x²– 3x – 10 = 0

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảia) (2x – 3)²– 49 = 0⇔ (2x – 3)²– 7²= 0⇔ (2x – 3 – 7)(2x – 3 + 7) = 0⇔ (2x – 10)(2x + 4) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – 10 = 0\\2x + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\)Vậy x = 5, x = – 2.b) 2x(x – 5) – 7(5 – x) = 0⇔ 2x(x – 5) + 7(x – 5) = 0⇔ (x – 5)(2x + 7) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 5 = 0\\2x + 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – \frac{7}{2}\end{array} \right.\)Vậy \(x = – \frac{7}{2}\), x = 5.c) x²– 3x – 10 = 0⇔ x²– 5x + 2x – 10 = 0⇔ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0⇔ (x – 5)(x + 2) = 0\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x – 5 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = – 2\end{array} \right.\)Vậy x = 5, x = – 2.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

4. Cho hình vẽ bên, biết AB//CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vẽ bên, biết AB//CD, AB = 5cm, CD = 7cm. Tính EG.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảiTứ giác ABCD là hình thang (AB//CD)Ta thấy EA = ED, GB = GC⇒ EG là đường trunng bình của hình thang ABCD\( \Rightarrow EG = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{5 + 7}}{2} = 6\) (cm)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   

5. Tìm các cặp số (x; y) biết: y4+ y2+ x2– 8y – 4x + 2xy + 7 = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm các cặp số (x; y) biết: y⁴+ y²+ x²– 8y – 4x + 2xy + 7 = 0.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giảiy⁴+ y²+ x²– 8y – 4x + 2xy + 7 = 0⇔ y⁴– 2y²+ 1 + 2y²– 4y + 2 + x²+ 2xy + y²– 4x – 4y + 4 = 0⇔ (y²– 1)²+ 2(y – 1)²+ (x + y)²– 4(x + y) + 4 = 0⇔ (y²– 1)²+ 2(y – 1)²+ (x + y – 2)²= 0Vì \({\left( {{y^2} – 1} \right)^2} \ge 0\forall y\)\(2{(y – 1)^2} \ge 0\forall y\)\({(x + y – 2)^2} \ge 0\forall x,y\)⇒ (y²– 1)²+ 2(y – 1)²+ (x + y – 2)²≥ 0Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{y^2} – 1} \right)}^2} = 0}\\{2{{(y – 1)}^2} = 0}\\{{{(x + y – 2)}^2} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} – 1 = 0}\\{y – 1 = 0}\\{x + y – 2 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y^2} – 1 = 0}\\{y – 1 = 0}\\{x + y – 2 = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \pm 1}\\{y = 1}\\{x + y = 2}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow x = y = 1\)Vậy cặp số cần tìm (x; y) là (1; 1).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====