Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V1,V2  và V3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính V3 theo R khi biểu thức V1+V2 đạt giá trị lớn nhất.

Câu hỏi:

Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi $V_1,V_2$  và $V_3$ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính $V_3$ theo R khi biểu thức $V_1+V_2$ đạt giá trị lớn nhất.

A.$V_3=\frac{2\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$

B.$V_3=\frac{8\pi }{81}{R}^3$

Đáp án chính xác

C.$V_3=\frac{2\sqrt{2}}{81}\pi R^3$

D.$V_3=\frac{\sqrt{18-6\sqrt{2}}}{9}\pi R^3$

Trả lời:

Đáp án B.Đặt $a=BC,b=CA,c=AB$.Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao $h_1=\sqrt{R^2-\frac{1}{4}{b}^2}$ và bán kính đáy $r_1=\frac{1}{2}b$ nên ta có $V_1=\frac{1}{3}\pi r_1^2{h}_1=\frac{1}{24}\pi b^2\sqrt{4R^2-b^2}$.Tương tự, ta có$\begin{array}{l}{V}_2=\frac{1}{24}\pi c^2\sqrt{4R^2-c^2};\\ V_3=\frac{1}{24}\pi a^2\sqrt{4R^2-a^2}\end{array}$.Bằng việc khảo sát hàm số $f\left(t\right)=t^2\left(4R^2-t\right)$ trên khoảng $\left(0;4R^2\right)$ hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si$\frac{1}{2}{b}^2.\frac{1}{2}{b}^2.\left(4R^2-b^2\right)\le {\left(\frac{\frac{1}{2}{b}^2+\frac{1}{2}{b}^2+4R^2-b^2}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}{R}^6$. Ta được $V_1\le \frac{2\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3;V_2\le \frac{2\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$. Suy ra $V_1+V_2\le \frac{4\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $b=c=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.Vậy $V_1+V_2$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4\pi \sqrt{3}}{9}{R}^3$ khi $b=c=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.Khi đó tam giác ABC cân tại A và có $AB=AC=\frac{2\sqrt{6}}{3}R$.Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì $2R.AH=A{B}^2$. Từ đó suy ra $AH=\frac{A{B}^2}{2R}=\frac{4}{3}R$. Do đó $OH=AH-R=\frac{1}{3}R$ và $a=2\sqrt{R^2-O{H}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}R$.Suy ra $V_3=\frac{8\pi }{81}{R}^3$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3×2+2  tại điểm Mx0;y0 có hệ số góc k bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$  tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ có hệ số góc k bằng

   A.$k=3x_0^2-6x_0$

   Đáp án chính xác

   B.$k=x_0^3-3x_0^2 +2$

   C.$k=3x_0^2-2x_0$

   D.$k=3x_0^2-6x_0+2$

   Trả lời:

   Đáp án A.Ta có $y‘=3x^2-6x$ nên hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ là $k=y‘\left(x_0\right)=3x_0^2-6x_0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây:Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây:Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

   A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;2\right)$ và $\left(-2;+\infty \right)$ 

   B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;2\right)$.

   C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$ 

   Đáp án chính xác

   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(2;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3x+12x−1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+1}{2x-1}$.

   A.$x=\frac{3}{2}$

   B.$y=\frac{1}{2}$

   C.$x=\frac{1}{2}$

   Đáp án chính xác

   D.$y=\frac{3}{2}$

   Trả lời:

   Đáp án C.Vì $\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim }\frac{3x+1}{2x-1}=-\infty ;\underset{x\to {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim }\frac{3x+1}{2x-1}=+\infty$ nên $x=\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số y=ax+bcx+d có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó d<0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó $d<0$. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

   A.$a<\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c<0$

   Đáp án chính xác

   B.$a>\mathrm{0,}b<\mathrm{0,}c>0$

   C. a<0, b>0,c<0

   D.$a>\mathrm{0,}b>\mathrm{0,}c>0$

   Trả lời:

   Đáp án A.Cách 1: Từ đồ thị, ta có $\frac{b}{d}=y\left(0\right)>0$. Suy ra $b<0$.Lại có $y=0\iff x=-\frac{b}{a}<0$. Suy ra $a<0$. Do đó đáp án đúng là A.Cách 2: Từ đồ thị, ta có đường tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$  và tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$. Do $d<0$ nên $c<0$. Suy ra $a<0$.Lại do $\frac{b}{d}=y\left(0\right)>0$ nên suy ra $b<0$. Do đó đáp án đúng là A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm nghiệm của phương trình log5x+2=2018 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_5\left(x+2\right)=2018$ .

   A.$x=5^{2018}-2$

   Đáp án chính xác

   B.$x={2018}^5-2$

   C.$x=5^{2018}+2$

   D.$x={2018}^5+2$

   Trả lời:

   Đáp án A. Ta có $\begin{array}{l}{\log }_5\left(x+2\right)=2018\\ \iff x+2=5^{2018}\\ \iff x=5^{2018}-2\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====