Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu. Tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện.

Câu hỏi:

Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu. Tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện.

A.$\frac{188}{273}$

Đáp án chính xác

B.$\frac{1009}{1365}$

C.$\frac{245}{273}$

D.$\frac{136}{195}$

Trả lời:

Đáp án A.Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện.Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)=C_{15}^4$  .Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra  là biến cố “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét các trường hợp sau:a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện”Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên một mặt bên là $C_7^4$  (cách).Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là $4.C_7^4$  (cách).b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của cạnh đối diện:.Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_7^4$  (cách).Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn trường hợp b. là $6C_7^4$  (cách).c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó”.Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là $C_5^4$  (cách).Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh nên có tất cả  $3.4=12$ mặt phẳng ở trường hợp c.Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là  $12C_5^4$ (cách).d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện”.Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành từ 2 trong 3 đường đó là  $C_3^2$(mặt phẳng).Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) là  $C_5^4$(cách).Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là $C_3^2.C_5^4$  (cách).Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là $n\left(A\right)=4C_7^4+6C_7^4$$+12C_5^4+C_3^2.C_5^4=425$  .Vậy xác suất cần tính là$\begin{array}{l}P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)\\ =1-\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\\ =1-\frac{425}{C_{15}^4}=\frac{188}{173}\end{array}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong các khẳng định sau đây? Khẳng định nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong các khẳng định sau đây? Khẳng định nào sai?

   A. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

   Đáp án chính xác

   B. Gọi $P\left(A\right)$ là xác suất của biến cố A ta luôn có $0<P\left(A\right)\le 1$.

   C. Biến cố là tập con của không gian mẫu

   D. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không biết được chính xác kết quả của nó nhưng ta có thể biết được tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Với mọi biến cố A, xác suất $P\left(A\right)$  của nó luôn thỏa mãn điều kiện $0\le P\left(A\right)\le 1$ .
   Vậy phương án B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tính I=limx→12x−x+3×2−1
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính $I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{x+3}}{x^2-1}$

   A.$I=\frac{7}{8}$

   Đáp án chính xác

   B.$I=\frac{3}{2}$

   C.$I=\frac{3}{8}$

   D.$I=\frac{3}{4}$

   Trả lời:

   Đáp án A.Cách 1. tư duy tự luận$\begin{array}{l}I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{x+3}}{x^2-1}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(2x-\sqrt{x+3}\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x^2-x-3}{\left(x^2-1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\end{array}$$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(4x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{4x+3}{\left(x+1\right)\left(2x+\sqrt{x+3}\right)}\\ =\frac{7}{2.4}=\frac{7}{8}\end{array}$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayvậy $I=\frac{7}{8}$Cách 3: Sử dụng quy tắc L’Hospital và máy tính cầ tayVậy $I=\frac{7}{8}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số y=x−2x+1. Chọn khẳng định đúng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$. Chọn khẳng định đúng

   A. Hàm số nghịch biến trên R

   B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

   Đáp án chính xác

   C. Hàm số đồng biến trên R

   D. Hàm số có duy nhất một cực trị

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Tập xác định:$D=ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ .
   Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đồng biến (hay nghịch biến) trên  R và hàm số không có cực trị. Loại A, C, D.
    

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hàm số fx=ecosx.sinx  Tính f'π2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=e^{\cos x}.\sin x$  Tính $f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)$.

   A.1

   B.-2

   C.2

   D.-1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Cách 1: Tư duy tự luận$\begin{array}{l}f‘\left(x\right)=-{\sin }^{2}x.e^{\cos x}+e^{\cos x}.\cos x\\ =e^{\cos x}\left(\cos x-{\sin }^{2}x\right)\end{array}$$\to f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)=e^{\cos \frac{\pi }{2}}.\left(\cos \frac{\pi }{2}-{\sin }^2\frac{\pi }{2}\right)=-1$Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tayvậy $f‘\left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=f(x) xác định trên ℝ\−1;1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sauKhẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số y=f(x) xác định trên $ℝ\backslash \left\{-1;1\right\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sauKhẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

   A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x=1 và x=-1

   B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y=3

   C. Hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực trị tại x=0

   D. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:$\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=-\infty \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=-\infty \end{array}\right.\to$ Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là $x=-1$  và $x=1$ . A đúng.$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=3;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=3\to$Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng . B đúng. Hàm số không có đạo hàm tại điểm , tuy nhiên vẫn đạt giá trị cực đại y=2 tại x=0  . C đúng. Hàm số không đạt cực trị tại điểm x=1  . D sai. 
   Cách 1: Tư duy tự luận Do $\pi >1$   nên ${\pi }^a>\pi ={\pi }^1\iff a>1$ . Vậy A đúng. Do $a>1$  nên $a^{\sqrt{5}}<a^3\iff \sqrt{5}<3$  (hiển nhiên). Vậy B đúng.Do $e>1$  nên $e^a>1\iff e^0\iff a>0$ . Vậy C đúng. Do $a>1$   nên $a^{-\sqrt{3}}>a^2\iff -\sqrt{3}>2$  (vô lý). Vậy D sai.Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay Như vậy nếu $a>1$  thì $a^{-\sqrt{3}}<a^2$ . Đáp án D sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====