Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x−12+y2+z−22=9 ngoại tiếp khối bát diện (H) được ghép từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.ABCD (đều có đáy là tứ giác ABCD). Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng P:2x+2y−z−8=0. Tính thể tích khối bát diện (H)

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+y^2+{\left(z-2\right)}^2=9$ ngoại tiếp khối bát diện (H) được ghép từ hai khối chóp tứ giác đều S.ABCD và S’.ABCD (đều có đáy là tứ giác ABCD). Biết rằng đường tròn ngoại tiếp của tứ giác ABCD là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng $\left(P\right):2x+2y-z-8=0$. Tính thể tích khối bát diện (H)

A.$V_{\left(H\right)}=\frac{34}{9}.$

B.$V_{\left(H\right)}=\frac{665}{81}.$

C.$V_{\left(H\right)}=\frac{68}{9}.$

Đáp án chính xác

D.$V_{\left(H\right)}=\frac{1330}{81}.$

Trả lời:

Đáp án CMặt cầu  (S) có tâm $I\left(1;0;2\right)$ , bán kính R=3. Nhận xét thấy S, I, S’ thẳng hàng và $S{S}^{‘}\perp \left(ABCD\right)$ . Khi đó $S{S}^{‘}=2R=6$ . Ta có:$V_{\left(H\right)}=V_{S.ABCD}+V_{S^{‘}.ABCD}$$=\frac{1}{3}d\left(S;\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}$$+\frac{1}{3}d\left(S^{‘};\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}$$=\frac{1}{3}\left[d\left(S;\left(ABCD\right)\right)+d\left(S^{‘};\left(ABCD\right)\right)\right].S_{ABCD}$$=\frac{1}{3}S{S}^{‘}.S_{ABCD}=2S_{ABCD}$Từ giả thiết suy ra ABCD là hình vuông, gọi a là cạnh hình vuông đó.Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r và ngoại tiếp hình vuông ABCD.Suy ra $2r=AC=a\sqrt{2}$$\Rightarrow r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Từ ${\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^2+r^2=R^2$ .$\iff r=\sqrt{R^2-{\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^2}$$=\sqrt{3^2-{\left(\frac{8}{3}\right)}^2}$$=\frac{\sqrt{17}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$\iff a=\frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{2}}$Vậy $V_{\left(H\right)}=2S_{ABCD}=2a^2$$=2.{\left(\frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{68}{9}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên R

   A.$y=x^3-3x+1.$

   B.$y=3x^3+2x.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=x^2+2.$

   D.$y=2x^4+x^2.$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Các hàm số đã cho đều có tập xác định là $D=ℝ$ .
   Với phương án A: $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  $\left(-\infty ;-1\right)$và $\left(1;+\infty \right)$ . Loại A.
   Với phương án B:  $y^{‘}=9x^2+2>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$nên hàm số đồng biến trên R  . Chọn B. 
   Với phương án C: $y^{‘}=2x;y^{‘}=0\iff x=0$  . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại C.
   Với phương án D: $y^{‘}=8x^3+2x=2x\left(4x^2+1\right);$$y^{‘}=0\iff x=0$ . Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$  . Loại D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Đồ thị hàm số y=2x−1x+2 có các đường tiệm cận là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ có các đường tiệm cận là

   A.$y=-2;x=-2.$

   B.$y=2;x=-2.$

   Đáp án chính xác

   C.$y=-2;x=2.$

   D.$y=2;x=2.$

   Trả lời:

   Đáp án BĐồ thị hàm số có tiệm cận ngang là  y=2 và đường tiệm cận đứng là x=-2  .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị cực đại của hàm số y=x3−3x−2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị cực đại của hàm số $y=x^3-3x-2$ là

   A. 0.

   Đáp án chính xác

   B. 1

   C. -1

   D. 2

   Trả lời:

   Đáp án AĐạo hàm $y^{‘}=3x^2-3;y^{‘}=0$$\iff x=\pm 1$  . Ta có bảng biến thiên sau đây:Quan sát bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại $x=-1\to y_{CĐ}=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

   A.$y=-x^3-3x+1.$

   B.$y=-x^3+3x-1.$

   C.$y=x^3+3x+1.$

   D.$y=x^3-3x+1.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DQuan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị là của hàm số bậc ba và có dạng chữ N nên hệ số a>0. Loại A, BMặt khác, đồ thị có hai điểm cực trị nên loại C. Do ${y^{‘}}_{\left(C\right)}=3x^2+3>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ nên hàm số   $y=x^3+3x+1$ đồng biến trên R   và không có cực trị.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tập nghiệm của bất phương trình log3x≤log132x là nửa khoảng a;b. Giá trị của a2+b2 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)$ là nửa khoảng $\left(a;b\right]$. Giá trị của $a^2+b^2$ là

   A. 1

   B. 4

   C.$\frac{1}{2}.$

   Đáp án chính xác

   D. 8

   Trả lời:

   Đáp án CTa có $\begin{array}{l}{\log }_{3}x\le {\log }_{\frac{1}{3}}\left(2x\right)\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x\le -{\log }_3\left(2x\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_{3}x+{\log }_3\left(2x\right)\le 0\end{array}\right.\end{array}$$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ {\log }_3\left(2x^2\right)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ 2x^2\le 1\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x>0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right.\\ \iff 0<x\le \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\begin{array}{l}\left(0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\to a=\mathrm{0,}b=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \to a^2+b^2=\frac{1}{2}\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====