Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu S1:x−22+y+32+z−12=4 và S2:x−32+y+12+z+12=1. Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu S2sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu S1 theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là: 

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$ và $\left(S_2\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1.$ Gọi M là điểm thay đổi, thuộc mặt cầu $\left(S_2\right)$sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua M, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_1\right)$ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là: 

A. $8\pi$

B. $4\sqrt{6}\pi$

Đáp án chính xác

C. $2\sqrt{30}\pi$

D. $4\pi$

Trả lời:

Mặt cầu $\left(S_1\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=4$ có tâm $I_1\left(2;-3;1\right)$, bán kính $R_1=2.$
Mặt cầu $\left(S_2\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=1$ có tâm $I_2\left(3;-1;-1\right)$, bán kính $R_2=1.$
Ta có: $I_1{I}_2=\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}=3=R_1+R_2.$
$\Rightarrow \left(S_1\right),\left(S_2\right)$ tiếp xúc ngoài.
Gọi $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right)$ là 3 mặt phẳng đi qua M đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $\left(S_1\right)$ theo ba đường tròn.
Gọi $H_1,H_2,H_3$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $I_1$ lên $\left(P\right),\left(Q\right),\left(R\right).$
     $r_1,r_2,r_3$ theo thứ tự là bán kính các đường tròn tâm $H_1,H_2,H_3.$
Khi đó ta có $I_1{H}_1^2+I_1{H}_2^2+I_1{H}_3^2=I_1{M}^2$
$\iff 4-r_1^2+4-r_2^2+4-r_3^2=I_1{M}^2$

Tổng chu vi 3 đường tròn là:
$T=2\pi r_1+2\pi r_2+2\pi r=2\pi \left(r_1+r_2+r_3\right)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
${\left(r_1+r_2+r_3\right)}^2\le \left(1^2+1^2+1^2\right)\left(r_1^2+r_2^2+r_3^2\right)$
$\Rightarrow r_1+r_2+r_3\le \sqrt{3\left(12-I_1{M}^2\right)}$
$\Rightarrow T\le 2\pi \sqrt{3\left(12-I_1{M}^2\right)}\le 2\pi \sqrt{3\left(12-R_1^2\right)}=2\pi \sqrt{3\left(12-4\right)}=4\pi \sqrt{6}.$
Vậy $T_{\max }=4\pi \sqrt{6}.$ Dấu “=” xảy ra khi $r_1=r_2=r_3,I_{1}M=2.$
Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC với A1;−5;4,B0;2;−1 và C(2; 9; 0). Giá trị của tổng a + b + c bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi G(a; b; c) là trọng tâm của tam giác ABC với $A\left(1;-5;4\right),B\left(0;2;-1\right)$ và
   C(2; 9; 0). Giá trị của tổng a + b + c bằng:

   A. 4                             

   Đáp án chính xác

   B. 13                           

   C. $\frac{4}{3}$                           

   D. 12

   Trả lời:

   Tọa độ điểm G là $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{1+0+2}{3}=1\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{-5+2+9}{3}=2\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{4-1+0}{3}=1\end{array}\right.\Rightarrow G\left(1;2;1\right).$
   $\Rightarrow a=1,b=2,c=1.$
   Vậy $a+b+c=1+2+1=4.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Với a, x, y là số thực dương tùy ý, a > 1 kết quả khi rút gọn biểu thức P=xlogayylogax là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a, x, y là số thực dương tùy ý, a > 1 kết quả khi rút gọn biểu thức $P=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{y^{{\log }_{a}x}}$ là: 

   A. P = 1

   Đáp án chính xác

   B. P = x

   C. P = y

   D. P = a

   Trả lời:

   Ta có: $P=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{y^{{\log }_{a}x}}=\frac{x^{{\log }_{a}y}}{x^{{\log }_{a}y}}=1.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?     
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?     

   

   A. $y=-x^3+3x^2-2$

   B. $y=x^3-3x^2-4$

   C. $y=-x^3+3x^2-4$

   Đáp án chính xác

   D. $y=-x^3-4$

   Trả lời:

   Nhánh cuối của đồ thị đi xuống nên loại đáp án B.
   Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ -4 nên loại đáp án A.
   Đồ thị đi qua điểm (2; 0) nên loại đáp án D.
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tích phân ∫−11x2020dx bằng: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tích phân $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2020}dx$ bằng: 

   A. $\frac{1}{2021}$

   B. $\frac{2}{2021}$

   C. $\frac{2}{2020}$

   D. 0

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Xét hàm số $f\left(x\right)=x^{2020}$ có TXĐ $D=\mathrm{ℝ}$ và $f\left(-x\right)=f\left(x\right)\forall x\in ℝ$ nên f(x) là hàm chẵn.
   Do đó $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2020}dx=0.$
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -6) và B(5; 3; -2) có phương trình tham số là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; -6) và B(5; 3; -2) có phương trình tham số là:

   A. $\left\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=4+t\\ z=2t\end{array}\right.$

   Đáp án chính xác

   B. $\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\ y=3+2t\\ z=-2-4t\end{array}\right.$

   C. $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+t\\ z=-6-2t\end{array}\right.$

   D. $\left\{\begin{array}{l}x=6+2t\\ y=2+2t\\ z=-1+4t\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(2;2;4\right)=2\left(1;1;2\right)$ nên đường thẳng đi qua A, B có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(1;1;2\right).$
   $\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+t\\ z=-6+2t\end{array}\right.$
   Với t = 3 ta có $M\left(6;4;0\right)\in AB.$
   Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{\begin{array}{l}x=6+t\\ y=4+t\\ z=2t\end{array}\right..$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====