Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5; 0; 0) và B(3; 4; 0). Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng                    

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(5; 0; 0) và B(3; 4; 0). Với C là điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng                    

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{4}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Ta có $\left(OAB\right)=\left(Oxy\right),C\in Oz$ suy ra $OC\perp \left(OAB\right).$
Mà $B\left(3;4;0\right)\Rightarrow OB=\sqrt{3^2+4^2}=5=OA\Rightarrow \Delta OAB$ cân tại O.
Gọi M là trung điểm của AB, K là trực tâm của tam giác OAB
Suy ra $OM\perp AB$ và $K\in OM.$
Ta có $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OM\\ AB\perp OC\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp \left(OCM\right)\Rightarrow AB\perp HK$ (do $HK\subset \left(OCM\right)$) (1).
Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}BK\perp OA\\ BK\perp OC\end{array}\right.\Rightarrow BK\perp \left(OAC\right)\Rightarrow BK\perp AC.$
Mà $BH\perp AC$ (do H là trực tâm của $\Delta ABC$) suy ra $AC\perp \left(BHK\right)\Rightarrow AC\perp HK\left(2\right).$
Từ (1) và (2) suy ra $HK\perp \left(ABC\right)\Rightarrow HK\perp HM\Rightarrow \Delta KHM$ vuông tại H.
Vì M, K (OCM) cố định và $\widehat{KHM}={90}^0$ nên H thuộc đường tròn đường kính KM.
Gọi N là hình chiếu của B lên trục Ox suy ra N(3; 0; 0)
Từ đó ta tính được NA = 2, BN = 4 và $AB=2\sqrt{5}.$
Ta có $\Delta BMK$ đồng dạng $\Delta BNA$ (g.g) nên suy ra $\frac{MK}{NA}=\frac{BM}{BN}\iff \frac{MK}{2}=\frac{\frac{1}{2}AB}{4}\iff MK=\frac{\sqrt{5}}{2}.$
Vậy khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng $\frac{MK}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}.$
Chọn D.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng −∞;+∞
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

   A. $y={\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}\right)}^x.$

   B. $y={\left(\frac{2}{e}\right)}^x.$

   C. $y={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^x.$

   D. $y={\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\right)}^x.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hàm số $y=a^x$ đồng biến $\left(-\infty ;+\infty \right)$ khi a > 1. Ta có: $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}>1$ nên chọn D.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a,BC=a,SA=a3 và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=2a,BC=a,SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

   A. $V=a^3\sqrt{3}.$

   B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

   C. $V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$

   Đáp án chính xác

   D. $V=2a^3\sqrt{3}.$

   Trả lời:

   

   Ta có $B=S_{ABCD}=2a.a=2a^2.$
   Thể tích khối chóp S.ABCD là:
   $V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}2a^2.a\sqrt{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
   

   A. $y=3x^2+2x+1$

   B. $y=x^3-3x^2+1$

   Đáp án chính xác

   C. $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+1$

   D. $y=x^4+3x^2+1$

   Trả lời:

   Đồ thị có dạng trên là đồ thị hàm số bậc 3 ứng với hệ số a > 0.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện

   A. mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh.

   B. mỗi cạnh của một khối đã diện là cạnh chung của đúng 2 mặt.

   C. mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.

   D. hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Vì phát biểu D. Đúng là “hai mặt bất kỳ hoặc không có điểm chung hoặc có một đỉnh chung hoặc chỉ có một cạnh chung”.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x+1−3x+2 là?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{-3x+2}$ là?

   A. $x=\frac{2}{3}$

   B. $y=\frac{2}{3}$

   C. $y=-\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   D. $x=-\frac{1}{3}$

   Trả lời:

   Hàm số có tập xác định là $D=\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right).$
   Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{-3x+2}=-\frac{1}{3}.$
   Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-\frac{1}{3}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====