Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm  A0;8;2 và mặt cầu S  có phương trình S:x−52+y+32+z−72=72  và điểm B9;−7;23 . Viết phương trình mặt phẳng P qua A và tiếp xúc với S sao cho khoảng cách từ B đến P  lớn nhất. Giả sử n→=1;m;nm,n∈ℤ  là một vectơ pháp tuyến của P , tính tích m.n.

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm  $A\left(0;8;2\right)$ và mặt cầu $\left(S\right)$  có phương trình $\left(S\right):{\left(x-5\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2+{\left(z-7\right)}^2=72$  và điểm $B\left(9;-7;23\right)$ . Viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$ và tiếp xúc với $\left(S\right)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $\left(P\right)$  lớn nhất. Giả sử $\overrightarrow{n}=\left(1;m;n\right)\left(m,n\in \mathbb{Z}\right)$  là một vectơ pháp tuyến của $\left(P\right)$ , tính tích $m.n$.

A. $m.n=2$

B. $m.n=-2$

C. $m.n=4$

D. $m.n=-4$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D

 
Cách 1:
Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm  $I\left(5;-3;7\right)$ và bán kính $R=6\sqrt{2}$
 $\overrightarrow{IA}=\left(-5;11;-5\right)\Rightarrow IA=\sqrt{171}>6\sqrt{2}$ nên điểm  $A$ nằm ngoài mặt cầu.
 $\overrightarrow{IB}=\left(4;-4;16\right)\Rightarrow IB=12\sqrt{2}>6\sqrt{2}$ nên điểm $B$  nằm ngoài mặt cầu.
$\Rightarrow$ $A,I,B$ không thẳng hàng.
Mặt phẳng $\left(P\right)$  qua $A$  và tiếp xúc với $\left(S\right)$  nên khi  $\left(P\right)$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua $A$  và tiếp điểm tạo thành hình nón.
Gọi $\left(AB,\left(P\right)\right)=\alpha \Rightarrow d\left(B,\left(P\right)\right)=AB.\sin \alpha$  đạt giá trị lớn nhất $A,B,I,H$  đồng phẳng $\iff \left(AIB\right)\perp \left(P\right)$  ( $H$ là hình chiếu của $B$ lên $\left(P\right)$ ).
Mặt phẳng $\left(P\right)$ qua $A$  và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;m;n\right)$  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my-nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left(P\right)$  tiếp xúc với $\left(S\right)\iff d\left(I,\left(P\right)\right)=R$ .
$\begin{array}{l}\iff \frac{\left|5n-11m+5\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=6\sqrt{2}\iff {\left(5n-11m+5\right)}^2=72\left(1+m^2+n^2\right)\\ \iff 49m^2-47n^2-110mn+50n-110m-47=0\left(1\right)\end{array}$

Ta có: $\left[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}\right]=\left(156;70;-24\right)$.
Gọi $\overrightarrow{n_1}$  là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(AIB\right)$ , chọn $\overrightarrow{n_1}=\left(13;5;-2\right)$
Do $\left(AIB\right)\perp \left(P\right)\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n}=0\iff 13+5m-2n=0\left(2\right)$
Thế (2) vào (1) ta được phương trình: $2079m^2+8910m+6831=0\iff \left[\begin{array}{l}m=-1\\ m=-\frac{6831}{2079}\left(l\right)\end{array}\right.$
  Thay $m=-1$  vào (2) suy ra: $n=4$
Vậy $m.n=-4$.
Cách 2:
Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(5;-3;7\right)$  và bán kính $R=6\sqrt{2}$
Mặt phẳng  $\left(P\right)$ qua $A$  và nhận $\overrightarrow{n}=\left(1;m;n\right)$  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+my+nz-8m-2n=0$.
Mặt phẳng $\left(P\right)$  tiếp xúc với $\left(S\right)$:
$\begin{array}{l}\iff d\left(I,\left(P\right)\right)=R\iff \frac{\left|5n-11m+5\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=6\sqrt{2}\\ \iff d\left(B,\left(P\right)\right)=\frac{\left|21n-15m+9\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=\frac{\left|5n-11m+5-4m+16n+4\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}\\ \le \frac{\left|5n-11m+5\right|+4\left|4n-m+1\right|}{\sqrt{1+m^2+n^2}}\le 6\sqrt{2}+4\frac{\sqrt{\left(4^2+{\left(-1\right)}^2+1^2\right)\left(n^2+m^2+1\right)}}{\sqrt{1+m^2+n^2}}=18\sqrt{2}\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{n}{4}=\frac{m}{-1}=\frac{1}{1}\iff m=-1;n=4$
Vậy $m.n=-4$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=fx  xác định trên ℝ\1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$  xác định trên $ℝ\backslash \left\{1\right\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:
   
   Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

   A. 1

   B. 2

   C. 3

   Đáp án chính xác

   D. 4

   Trả lời:

   Đáp án C
   Ta có$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-3\Rightarrow y=-3$  là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
    $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=2\Rightarrow y=2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
    $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty \Rightarrow x=1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
   Vậy đồ thị đã cho có ba đường tiệm cận.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho mặt cầu có diện tích là 72πcm2 . Bán kính R  của khối cầu là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho mặt cầu có diện tích là $72\pi \left(c{m}^2\right)$ . Bán kính $R$  của khối cầu là:

   A. $R=3\sqrt{2}\left(cm\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $R=6\left(cm\right)$

   C. $R=3\left(cm\right)$

   D. $R=\sqrt{6}\left(cm\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Có $S=4\pi R^2=72\pi \Rightarrow R=\sqrt{\frac{72\pi }{4\pi }}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\left(cm\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz , cho điểm H−1;3;2 , hình chiếu H  của trên mặt phẳng Oyz  có tọa độ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $H\left(-1;3;2\right)$ , hình chiếu $H$  của trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$  có tọa độ là:

   A. $\left(-1;0;0\right)$

   B. $\left(0;3;2\right)$

   Đáp án chính xác

   C. $\left(-1;0;2\right)$

   D. $\left(-1;-3;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hình chiếu của $H$  trên mặt phẳng $\left(Oyz\right)$  là $H‘\left(0;3;2\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hàm số y=fx  có bảng biến thiên như hình bên: Hỏi hàm y=fx  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=f\left(x\right)$  có bảng biến thiên như hình bên:
   
   Hỏi hàm $y=f\left(x\right)$  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$

   Đáp án chính xác

   B. $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

   C. $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

   D. $\left(-\frac{1}{2};0\right)$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\frac{3}{2};-1\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hàm số nào sau đây đồng biến trên 0;+∞ ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ ?

   A. $y={\log }_{\frac{1}{e}}x$

   B. $y={\log }_{\sqrt{2}}x$

   Đáp án chính xác

   C. $y={\log }_{\frac{2}{3}}x$

   D. $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hàm số $y={\log }_{a}x$  đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi $a>1$ .
   Vì $\sqrt{2}>1$  nên hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}}x$  đồng biến trên tập xác định $\left(0;+\infty \right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====