Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2=25. Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng Δ:x=10+ty=−tz=10+t, kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu (S) với B, C, D là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (BCD) luôn chứa một đường thẳng cố định. Góc giữa đường thẳng cố định với mặt phẳng (Oxy) bằng:

Câu hỏi:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2=25.$ Từ điểm A thay đổi trên đường thẳng $\left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{l}x=10+t\\ y=-t\\ z=10+t\end{array}\right.,$ kẻ các tiếp tuyến AB, AC, AD tới mặt cầu (S) với B, C, D là các tiếp điểm. Biết mặt phẳng (BCD) luôn chứa một đường thẳng cố định. Góc giữa đường thẳng cố định với mặt phẳng (Oxy) bằng:

A. ${60}^0$

B. ${30}^0$

C. ${45}^0$

Đáp án chính xác

D. ${90}^0$

Trả lời:

Gọi M(x; y; z) là một tiếp điểm bất kì của tiếp tuyến kẻ từ A đến mặt cầu (S)
$M\in \left(S\right)\Rightarrow x^2+y^2+z^2=25.$
Vì $A\in \Delta \Rightarrow A\left(10+t;-t;10+t\right)$.
Vì AM là tiếp tuyến của (S) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R = 5 nên $AM\perp OM\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{OM}=0$
Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(x-10-t;y+t;z-10-t\right),\overrightarrow{OM}=\left(x;y;z\right)$
$\Rightarrow x\left(x-10-t\right)+y\left(y+t\right)+z\left(z-10-t\right)=0$
$\iff x^2-10x-tx+y^2+ty+z^2-10z-tz=0$
$\iff x^2+y^2+z^2-10x-10z-t\left(x-y+z\right)=0$
$\iff 25-10x-10z-t\left(x+y+z\right)=0$
$\iff \left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 10z+10z=25\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+2z=5\end{array}\right.$
 
$\Rightarrow \left(P\right)$ chứa đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+2y=5\end{array}\right.$ cố định.
Ta có: $d:\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\ 2x+2z=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}z=t\\ y=x+t\\ 2x=-2z+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=-2t+5\\ y=x+t\\ z=t\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}-t\\ y=\frac{5}{2}\\ z=t\end{array}\right.$
$\Rightarrow d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(-1;0;1\right).$
Khi đó ta có $\sin \left(d;\left(Oxy\right)\right)=\cos \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{i}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{i}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|}=\frac{\left|-1.1+0.0+1.0\right|}{\sqrt{2}.1}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$
Vậy $\angle \left(d;\left(Oxy\right)\right)={45}^0.$
Chọn C.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hai số phức z1=2−i và z2=−1+4i. Tìm số phức z=z1+z2. 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai số phức $z_1=2-i$ và $z_2=-1+4i.$ Tìm số phức $z=z_1+z_2.$ 

   A. z = 1 + 3i

   Đáp án chính xác

   B. z = 3 – 5i

   C. z = 1 – 3i

   D. z = -3 + 5i

   Trả lời:

   $z=z_1+z_2=\left(2-i\right)+\left(-1+4i\right)=1+3i.$
   Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho khối chóp có thể tích bằng 18cm3 và diện tích đáy bằng 9cm2. Chiều cao của khối chóp đó là: 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp có thể tích bằng $18c{m}^3$ và diện tích đáy bằng $9c{m}^2.$ Chiều cao của khối chóp đó là: 

   A. 2cm

   B. 6cm

   Đáp án chính xác

   C. 3cm

   D. 4cm

   Trả lời:

   Chiều cao khối chóp là $h=\frac{3.18}{9}=6\left(cm\right).$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức 
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức 

   A. z = 3 + 5i

   B. z = 3 – 5i

   C. z = -5 + 3i

   Đáp án chính xác

   D. 5 + 3i

   Trả lời:

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, M(-5; 3) là điểm biểu diễn của số phức z = -5 + 3i
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong không gian Oxyz, mặt cầu S:x2+y2+z2−2x+4y+2z−3=0 có bán kính là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ có bán kính là:

   A. $3\sqrt{3}$

   B. 3

   Đáp án chính xác

   C. $\sqrt{3}$

   D. 9

   Trả lời:

   Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$ có bán kính là $R=\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2-\left(-3\right)}=3.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x33+2×2+3x−4 trên đoạn [-4; 0]. Giá trị mM bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn [-4; 0]. Giá trị $\frac{m}{M}$ bằng:

   A. $\frac{8}{3}$

   B. $\frac{3}{4}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{4}{3}$

   D. $\frac{64}{3}$

   Trả lời:

   Ta có $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4\Rightarrow y‘=x^2+4x+3.$
   $y‘=0\iff x^2+4x+3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-3\end{array}\right.\in \left[-4;0\right]$.
   $y\left(-4\right)=y\left(-1\right)=-\frac{16}{3},y\left(-3\right)=y\left(0\right)=-4.$
   $\Rightarrow \underset{\left[-4;0\right]}{\min }y=-\frac{16}{3};\underset{\left[-4;0\right]}{\max }y=-4=M.$
   Vậy $\frac{m}{M}=\frac{-\frac{16}{3}}{-4}=\frac{4}{3}.$
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====