Câu hỏi:
Tìm \(\int {{e^x}.\sin xdx} \)
A. \(2{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\)
B. \(2{e^x}\left( {\sin x – \cos x} \right) + C\)
C. \(\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x – \cos x} \right) + C\)
Đáp án chính xác
D. \(\frac{1}{2}{e^x}\left( {\sin x + \cos x} \right) + C\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \sin x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \cos xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
Khi đó \(\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x – \int {{e^x}.\cos xdx} \)
Đến đây ta phải áp dụng phương pháp từng phần một lần nữa, cụ thể:
Với \(\int {{e^x}.\cos xdx} \) ta thực hiện tương tự như sau:
+ Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = – \sin xdx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)
+ Khi đó \(\int {{e^x}.\cos xdx} = {e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} \)
Vậy \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x – \int {{e^x}.\cos xdx} \\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = {e^x}.\sin x – \left( {{e^x}.\cos x + \int {{e^x}.\sin xdx} } \right)\\ \Leftrightarrow \int {{e^x}.\sin xdx} = \frac{1}{2}{e^x}.\left( {\sin x – \cos x} \right) + C\end{array}\)
Chọn C.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====