Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích chiếc lu bằng

Câu hỏi:

Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích chiếc lu bằng

A. $\frac{100}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

B. $\frac{43}{3}\pi \left(d{m}^3\right)$

C. $41\pi \left(d{m}^3\right)$

D. $132\pi \left(d{m}^3\right)$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D.
Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, xét đường tròn $\left(C\right):{\left(x-5\right)}^2+y^2=25$ .
Ta có ${\left(x-5\right)}^2+y^2=25\iff y=\pm \sqrt{25-{\left(x-5\right)}^2}=\pm \sqrt{10x-x^2}$
 $\Rightarrow$Nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$ có phương trình $y=\sqrt{10x-x^2}$
Nếu cho nửa trên trục $Ox$ của $\left(C\right)$  quay quanh trục $Ox$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.
Nếu cho hình phẳng $\left(H\right)$  giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{10x-x^2}$ , trục $Ox$ , hai đường thẳng $x=0;x=2$  quay quanh trục $Ox$  ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
 $\Rightarrow$Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $\left(H\right)$ quay quanh $Ox$  là $V_1=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(10x-x^2\right)dx=\pi {\left(5x^2-\frac{x^3}{3}\right)}_0^2=\frac{52\pi }{3}$

Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$
Thể tích chiếc lu là $V=V_2-2V_1=\frac{500\pi }{3}-2.\frac{52\pi }{3}=132\pi \left(d{m}^3\right)$ .
Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích $V_1=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\frac{52\pi }{3}$  với $R=5dm,h=2dm$ .
Thể tích khối cầu là $V_2=\frac{4}{3}\pi {.5}^3=\frac{500\pi }{3}$ .
Vậy thể tích của chếc lu là $V=V_2-2V_1=132\pi$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
   

   A. $y=-x^3-3x^2-2$

   B. $y=x^3+3x^2-2$

   Đáp án chính xác

   C. $y=x^3-3x^2-2$

   D. $y=-x^3+3x^2-2$

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Từ hình dáng đồ thị ta có $a>0$ . Loại phương án A, D.
   Mặt khác, đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x=-1\Rightarrow$  Chỉ có $y=x^3+3x^2-2$  thỏa mãn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho dãy số un có số hạng tổng quát un=2n+3 . Công sai của dãy số un là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=2n+3$ . Công sai của dãy số $\left(u_n\right)$ là:

   A. $d=-2$

   B. $d=3$

   C. $d=5$

   D. $d=2$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D.
   Ta có $u_{n+1}-u_n=2\left(n+1\right)+3-\left(2n+3\right)=2$  là hằng số.
   Suy ra dãy $\left(u_n\right)$  là cấp số cộng với công sai $d=2$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Mặt phẳng P:x−3y+2=0  có vectơ pháp tuyến là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mặt phẳng $\left(P\right):x-3y+2=0$  có vectơ pháp tuyến là

   A. $\overrightarrow{n_P}=\left(-1;3;2\right)$

   B. $\overrightarrow{n_P}=\left(1;0;-3\right)$

   C. $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;0\right)$

   Đáp án chính xác

   D. $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;-2\right)$

   Trả lời:

   Đáp án C.
   Ta có $x-3y+2=0\iff 1.x-3.y+0.z+2=0$ . Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$  là $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;0\right)$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho ∫12fxdx=3;   ∫15fxdx=−2 . Giá trị của ∫25fudu  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3;\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=-2$ . Giá trị của $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(u\right)du$  bằng

   A. 5

   B. – 5

   Đáp án chính xác

   C. 1

   D. – 1

   Trả lời:

   Đáp án B.
   Ta có $\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(u\right)du=\underset{2}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-2-3=-5$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Nghiệm của bất phương trình log3x−4−log32>0  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(x-4\right)-{\log }_3\left(2\right)>0$  là

   A. $x>6$

   Đáp án chính xác

   B. $x>4$

   C. Vô nghiệm

   D. $0<x<1$

   Trả lời:

   Đáp án A.
   Ta có ${\log }_3\left(x-4\right)-{\log }_3\left(2\right)>0\iff {\log }_3\left(x-4\right)>{\log }_3\left(2\right)\iff x-4>2\iff x>6$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====