Câu hỏi:
Kí-hiệu \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x – 1} \right){e^x}\), trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox:
A. \(V = 4 – 2e\).
B. \(V = \left( {4 – 2e} \right)\pi \).
C. \(V = {e^2} – 5\).
D. \(V = \left( {{e^2} – 5} \right)\pi \).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là \(2\left( {x – 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình \(\left( H \right)\) xung quanh trục Ox là:
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left[ {2\left( {x – 1} \right){e^x}} \right]}^2}dx} = 4\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x – 1} \right)}^2}{e^{2x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\left( {x – 1} \right)^2}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\left( {x – 1} \right)dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \(V = 4\pi {\left( {x – 1} \right)^2}\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. – 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right){e^{2x}}dx} = – 2\pi – 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right){e^{2x}}dx} \)
Gọi \({V_1} = 4\pi \int\limits_0^1 {\left( {x – 1} \right){e^{2x}}dx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x – 1\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra \({V_1} = 4\pi \left( {x – 1} \right)\frac{{{e^{2x}}}}{2}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. – 2\pi \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} = 2\pi – \pi {e^{2x}}\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = 2\pi – \pi {e^2} + \pi = 3\pi – \pi {e^2}\)
\(V = – 2\pi – {V_1} = – 2\pi – \left( {3\pi – \pi {e^2}} \right) = \pi \left( {{e^2} – 5} \right)\)
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====