Câu hỏi:
Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm đa thức bậc ba và parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm của hình vẽ có diện tích bằng
A. \(\frac{{37}}{{12}}\).
Đáp án chính xác
B. \(\frac{7}{{12}}\).
C. \(\frac{{11}}{{12}}\).
D. \(\frac{5}{{12}}\).
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Vì đồ thị hàm bậc ba và đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung tại các điểm có tung độ lần lượt là \(y = 2\) và \(y = 0\) nên ta xét hai hàm số là \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\), \(y = m{x^2} + nx\) (với a, \(m \ne 0\)).
Suy ra \(\left( C \right)\): \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + 2\) và \(\left( P \right)\): \(y = g\left( x \right) = m{x^2} + nx\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) là:
\(a{x^3} + b{x^2} + cx + 2 = m{x^2} + nx \Leftrightarrow \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) – \left( {m{x^2} + nx} \right) = 0\).
Đặt \(P\left( x \right) = \left( {a{x^3} + b{x^2} + cx + 2} \right) – \left( {m{x^2} + nx} \right)\).
Theo giả thiết, \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) cắt nhau tại các điểm có hoành độ lần lượt là \(x = – 1\), \(x = 1\), \(x = 2\) nên \(P\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)\).
Ta có \(P\left( 0 \right) = 2a\).
Mặt khác, ta có \(P\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – g\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow a = 1\).
Vậy diện tích phần tô đậm là \(S = \int\limits_{ – 1}^2 {\left| {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right)} \right|dx} = \frac{{37}}{{12}}\)
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====