Câu hỏi:
Gọi \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 – \sin x}}\), với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và thỏa mãn \(F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\). Giá trị của \(F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right)\) là:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. 0.
C. \(\frac{5}{3}\)
D. \(\frac{1}{3}\)
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta thấy: \(\begin{array}{l}\frac{{{{\cos }^5}x}}{{1 – \sin x}} = {\cos ^3}x\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)\cos x + {\cos ^3}x.\sin x\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)d\left( {\sin x} \right)} – \int {{{\cos }^3}xd\left( {\cos x} \right)} = \sin x – \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} – \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\end{array}\)
Theo giả thiết, ta có \(F\left( \pi \right) = \frac{3}{4}\) nên \(C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = \sin x – \frac{{{{\sin }^3}x}}{3} – \frac{{{{\cos }^4}x}}{4} + C\)
Do đó \(F\left( { – \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{3}\).
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====