Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức thỏa mãn z−68+zi¯ là số thực. Biết rằng z1−z2=4, giá trị nhỏ nhất của z1+3z2 bằng

Câu hỏi:

Giả sử $z_1,z_2$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)$ là số thực. Biết rằng $\left|z_1-z_2\right|=4$, giá trị nhỏ nhất của $\left|z_1+3z_2\right|$ bằng

A. $20-4\sqrt{21}$

B. $20-4\sqrt{22}$

Đáp án chính xác

C. $5-\sqrt{22}$

D. $5-\sqrt{21}$

Trả lời:

Giả sử $z=x+yi$, $x,y\in ℝ$.Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức $z_1,z_2$ . Suy ra $AB=\left|z_1-z_2\right|=4$.
* Ta có $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)=\left[\left(x-6\right)+yi\right].\left[\left(8-y\right)-xi\right]=\left(8x+6y-48\right)-\left(x^2+y^2-6x-8y\right)i$. Theo giả thiết $\left(z-6\right)\left(8+\overline{zi}\right)$ là số thực nên ta suy ra $x^2+y^2-6x-8y=0$. Tức là các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left(C\right)$ tâm $I\left(3;4\right)$, bán kính $R=5$.
* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi H là trung điểm AB.
Ta có $HA=HB=\frac{AB}{2}=2$ và $MA=\frac{3}{4}AB=3\Rightarrow HM=MA-HA=1$.
Từ đó $H{I}^2=R^2-H{B}^2=21$, $IM=\sqrt{H{I}^2+H{M}^2}=\sqrt{22}$, suy ra điểm M thuộc đường tròn $\left(C^{‘}\right)$ tâm $I\left(3;4\right)$ , bán kính $r=\sqrt{22}$.
* Ta có $\left|z_1+3z_2\right|=\left|\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right|=\left|4\overrightarrow{OM}\right|=4OM$, do đó $\left|z_1+3z_2\right|$ nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất.
Ta có $O{M}_{\min }=O{M}_0=\left|OI-r\right|=5-\sqrt{22}$.
Vậy ${\left|z_1+3z_2\right|}_{\min }=4O{M}_0=20-4\sqrt{22}$.
Chọn đáp án B

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d a , b , c , d∈ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a,b,c,d\in ℝ\right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
   

   A. 1

   B. 2

   Đáp án chính xác

   C. 0

   D. 3

   Trả lời:

   Dựa vào đồ thị trên, suy ra số điểm cực trị của hàm số là 2.
   Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hàm số y=fx liên tục trên R, có đạo hàm f’x=x3x−12x+2. Hỏi hàm số y=fx có bao nhiêu điểm cực trị?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên R, có đạo hàm $f^{‘}\left(x\right)=x^3{\left(x-1\right)}^2\left(x+2\right)$. Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

   A. 2

   Đáp án chính xác

   B. 0

   C. 1

   D. 3

   Trả lời:

   Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên R và $f^{‘}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=-2\end{array}\right.$, trong đó $x=1$ là nghiệm kép.
   Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ có 2 điểm cực trị.
   Chọn đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x2=y−31=z−2−3 và mặt phẳng P:x−y+2z−6=0. Đường thẳng nằm trong (P) cắt và vuông góc với d có phương trình là?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{-3}$ và mặt phẳng $\left(P\right):x-y+2z-6=0$. Đường thẳng nằm trong (P) cắt và vuông góc với d có phương trình là?

   A. $\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-5}{3}.$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{7}=\frac{z+1}{3}.$

   C. $\frac{x+2}{1}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-1}{3}.$

   D. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{7}=\frac{z+5}{3}.$

   Trả lời:

   $\overrightarrow{n_P}=\left(1;-1;2\right), \overrightarrow{u_d}=\left(2;1;-3\right)$, Gọi $I=d\cap \left(P\right), I\in d\Rightarrow I\left(2t;3+t;2-3t\right)$,
   $I\in \left(P\right)\Rightarrow 2t-\left(3+t\right)+2\left(2-3t\right)-6=0\iff t=-1\Rightarrow I\left(-2;2;5\right)$
   Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm.
   Theo giả thiết $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{u_d}\\ \overrightarrow{u_{\Delta }}\perp \overrightarrow{n_P}\end{array}\right.\Rightarrow \overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(1;7;3\right)$
   Và đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm I. Vậy $\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{7}=\frac{z-5}{3}.$
   Chọn đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SA=2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $SA=2a$. Tính theo a thể tích khối chóp $S.ABCD$.

   A. $V=\frac{a^3\sqrt{15}}{12}$

   B. $V=\frac{a^3\sqrt{15}}{6}$

   Đáp án chính xác

   C. $V=\frac{2a^3}{3}$

   D. $V=2a^3$

   Trả lời:

   
   Gọi H là trung điểm AB.
   Theo đề, tam giác SAB cân tại S nên suy ra $SH\perp AB$.
   Mặt khác, tam giác SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy ra $SH\perp \left(ABCD\right)$.
   Xét tam giác SHA vuông tại H.
   $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$
   Diện tích hình vuông là $S_{ABCD}=a^2$.
   Vậy thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\frac{a^3\sqrt{15}}{6}$.
   Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Từ một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng, chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ một hộp đựng 5 quả cầu màu đỏ, 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng, chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ.

   A. $\frac{253}{323}$

   B. $\frac{70}{323}$

   Đáp án chính xác

   C. $\frac{112}{969}$

   D. $\frac{857}{969}$

   Trả lời:

   Chọn 4 quả cầu trong 20 quả cầu có $C_{20}^4$.
   Chọn 2 quả cầu đỏ trong 5 quả cầu có $C_5^2$.
   Chọn 2 quả cầu trong 15 quả cầu (gồm 8 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu trắng) có $C_{15}^2$.
   Số cách chọn 4 quả cầu có đúng 2 quả cầu màu đỏ là $C_5^2 C_{15}^2$.
   Xác suất để 4 quả cầu được chọn có đúng 2 quả cầu màu đỏ là $\frac{C_5^2{C}_{15}^2}{C_{20}^4}=\frac{70}{323}$.
   Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====