Cho số phức z thỏa mãn z−1−i+z−3−2i=5 . Giá trị lớn nhất của z+2i  bằng

Câu hỏi:

Cho số phức z thỏa mãn $\left|z-1-i\right|+\left|z-3-2i\right|=\sqrt{5}$ . Giá trị lớn nhất của $\left|z+2i\right|$  bằng

A. 10.

B. 5.

Đáp án chính xác

C. $\sqrt{10}$.

D. $2\sqrt{10}$.

Trả lời:

Đáp án B
Gọi $z=x+yi,\left(x,y\in ℝ\right)$ .
Khi đó $\left|z-1-i\right|+\left|z-3-2i\right|=\sqrt{5}\iff \left|\left(x-1\right)+\left(y-1\right)i\right|+\left|\left(x-3\right)+\left(y-2\right)i\right|=\sqrt{5}\left(1\right)$ .
Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A\left(1;1\right);B\left(3;2\right);M\left(a;b\right)$ .
$\Rightarrow$Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm $M\left(a;b\right)$  trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $MA+MB=\sqrt{5}$ .
Mặt khác $AB=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2}=\sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.
Ta có $\left|z+2i\right|=\left|a+\left(b+2\right)i\right|$ . Đặt $N\left(0;-2\right)$ thì $\left|z+2i\right|=MN$ .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.
Phương trình AB: $x-2y+1=0$ .
Ta có $H\left(-1;0\right)$ nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}AN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\\ BN=\sqrt{3^2+{\left(2+2\right)}^2}=5\end{array}\right.$ .
Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $AN\le MN\le BN=5$ .
Vậy giá trị lớn nhất của $\left|z+2i\right|$ bằng 5 đạt được khi $M\equiv B\left(3;2\right)$ , tức là $z=3+2i$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
   

   A. $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$.

   B. $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng (0;6).

   Đáp án chính xác

   C. $f\left(x\right)$ nghịch biến trên khoảng $(3;+\infty )$.

   D. $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(-1;3)$.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Trên khoảng $\left(0;6\right)$ , hàm số đồng biến trên $\left(0;3\right)$và nghịch biến trên $\left(3;6\right)$ nên đáp án B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm tập xác định D của hàm số y=ex2+2x
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tập xác định D của hàm số $y=e^{x^2+2x}$

   A. $D=ℝ$

   Đáp án chính xác

   B. $D=\left[-2;0\right]$

   C. $D=\left(-\infty -2\right]\cup \left[0;+\infty \right)$

   D. $D=\varnothing$

   Trả lời:

   Đáp án A
   Hàm số $y=e^{x^2+2x}$ xác định khi $x^2+2x$ , mà $x^2+2x$ là đa thức bậc hai nên nó xác định trên toàn trục số thực $ℝ$ . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D=ℝ$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho cấp số cộng un  có u1=−5  và d=3 . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$  có $u_1=-5$  và $d=3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

   A. Thứ 15.

   B. Thứ 20.

   C. Thứ 35.

   D. Thứ 36.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=-5\\ d=3\end{array}\right.\Rightarrow 100=u_n=u_1+\left(n-1\right)d=3n-8\iff n=36$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Kết quả của giới hạn limx→−∞2x−3×2+1−x  là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Kết quả của giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}$  là

   A. $-2$.

   B. $+\infty$.

   C. 3.

   D. $-1$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+1}-x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{3}{x}}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-1}=-1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số y=logax,y=logbx với a, b là hai số thực dương, khác 1  có đồ thị lần lượt là C1,C2  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $y={\log }_{a}x,y={\log }_{b}x$ với a, b là hai số thực dương, khác 1  có đồ thị lần lượt là $\left(C_1\right),\left(C_2\right)$  như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
   

   A. $0<b<a<1$.

   Đáp án chính xác

   B. $a>1$.

   C. $0<b<1<a$.

   D. $0<b<1$.

   Trả lời:

   Đáp án A
   Từ đồ thị $\left(C_1\right)$  ta có hàm số $y={\log }_{a}x$  đồng biến trên tập xác định do đó $a>1$  nên A sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====