Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc 60°. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là 1000πcm3. Hỏi nếu cho đầy lương cát vào phân trên thì chảy hết xuống dưới, khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ vào thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

Câu hỏi:

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60°$. Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là $1000\pi c{m}^3.$ Hỏi nếu cho đầy lương cát vào phân trên thì chảy hết xuống dưới, khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ vào thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

A. $\frac{1}{3\sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{8}$

Đáp án chính xác

C. $\frac{1}{64}$

D. $\frac{1}{27}$

Trả lời:

Đáp án BGọi $r,h,r‘,h‘$ lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón lớn và nhỏPhân tích dữ kiện+) Chiều cao của đồng hồ là 30 cm $\iff h+h‘=30\left(cm\right)$+) Tổng thể tích của đồng hồ là $1000\pi c{m}^3$$\iff V_l+V_n=\frac{\pi r^{2}h+\pi r{‘}^{2}h‘}{3}=1000\pi \iff r^{2}h+r{‘}^{2}h‘=3000$+) Đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60°\iff \frac{h}{r}=\frac{h‘}{r‘}=\sqrt{3}$Ta có hệ:$\left\{\begin{array}{l}h+h‘=\sqrt{3}\left(r+r‘\right)\\ r^{2}h+r{‘}^{2}h‘=\sqrt{3}\left(r^3+r{‘}^3\right)=3000\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{\left(r+r‘\right)}^3=9000\\ \sqrt{3}\left(r^3+r{‘}^3\right)=3000\end{array}\right.\iff \frac{{\left(r+r‘\right)}^3}{r^3+r{‘}^3}=3$$\iff 2r{‘}^2-5rr‘+2r^2=0\iff \frac{r}{r‘}=\frac{1}{2}$vì $0<r‘<r$Theo đó tỉ lệ cần tính là:$\frac{V_n}{V_l}=\frac{r{‘}^{2}h‘}{r^{2}h}={\left(\frac{r‘}{r}\right)}^3=\frac{1}{8}$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A1;2;3, B3;4;4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x+y+mz−1=0 bằng độ dài đoạn thẳng AB.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A\left(1;2;3\right)\text{, }B\left(3;4;4\right).$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $2x+y+mz-1=0$ bằng độ dài đoạn thẳng AB.

   A. m = 2

   Đáp án chính xác

   B. m = -2

   C. m = -3

   C. $m=\pm 2$

   Trả lời:

   Đáp án A$\overrightarrow{AB}=\left(2;2;1\right)\Rightarrow AB=3$Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+mz-1=0$ bằng AB nên$d\left(A;\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2x_A+y_A+m{z}_A-1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+m^2}}=AB=3\iff \frac{\left|3m+3\right|}{\sqrt{m^2+5}}=3\iff 3\left|m+1\right|=3\sqrt{m^2+5}\iff {\left(m+1\right)}^2=m^2+5\iff m=2$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Hàm số y=x4−4×2+4 đạt cực tiểu tại những điểm nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số $y=x^4-4x^2+4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?

   A. $x=\pm \sqrt{2},x=0$

   B. $x=\pm \sqrt{2}$

   C. $x=\sqrt{2},x=0$

   Đáp án chính xác

   D. $x=2$

   Trả lời:

   Đáp án C$\begin{array}{l}y‘=4x^3-8x\\ y‘‘=12x^2-8\end{array}y‘=0\iff 4x^3-8x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}\right.$Vẽ bảng biến thiên dễ dàng suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hàm số fx=x2+3x−4x+4 với x≠−4. Để hàm số fx liên tục tại x=−4 thì giá trị f(−4) là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x-4}{x+4}$ với $x\ne -4.$ Để hàm số $f\left(x\right)$ liên tục tại $x=-4$ thì giá trị $f(-4)$ là

   A. 0

   B. 3

   C. 5

   D. -5

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D$f\left(-4\right)=\underset{x\to -4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -4}{\lim }\frac{x^2+3x-4}{x+4}=\underset{x\to -4}{\lim }\left(x-1\right)=-5$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho cấp số cộng (un) có công sai d,u6=6 và u12=18 thì
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có công sai $d,u_6=6$ và $u_{12}=18$ thì

   A. $u_1=4,d=-2$

   B. $u_1=4,d=2$

   C. $u_1=-4,d=2$

   Đáp án chính xác

   D. $u_1=-4,d=-2$

   Trả lời:

   Đáp án C$\left\{\begin{array}{l}{u}_{12}=18=u_1+11d\\ u_6=6=u_1+5d\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-4\\ d=2\end{array}\right.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SB⊥ABC, AB=a, ACB^=30°, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 60°.  Tính thể tích V của khối chóp theo a.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho khối chóp $S\text{.}ABC$ có đáy là tam giác vuông tại A, $SB\perp \left(ABC\right),AB=a,\widehat{ACB}=30°,$ góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $60°$.  Tính thể tích V của khối chóp theo a.

   A. $V=3a^3$

   B. $V=a^3$

   Đáp án chính xác

   C. $V=2a^3$

   D. $V=\frac{3a^3}{2}$

   Trả lời:

   Đáp án BTa có $AC=\frac{AB}{\tan \widehat{ACB}}=a\sqrt{3};BC=2a$$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2$Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là $60°$$\begin{array}{l}\Rightarrow \widehat{SCB}=60°;\\ SB=SC.\tan \widehat{SCB}=2a\sqrt{3}\\ V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SB.S_{ABC}\\ =\frac{1}{2}2a\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2=a^3\end{array}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====