Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC=a3,ACB^=30o. Góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng

Câu hỏi:

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $AC=a\sqrt{3},\widehat{ACB}={30}^o.$ Góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng

A. $\frac{a\sqrt{21}}{4}.$

Đáp án chính xác

B. $\frac{a\sqrt{21}}{2}.$

C. $\frac{3a}{4}.$

D. $\frac{a\sqrt{21}}{8}.$

Trả lời:

Chọn A

Trong tam giác vuông ABC có $AB=AC.\sin {30}^o=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vì $A{B}^{‘}\cap \left(ABC\right)=\left\{A\right\}$ và hình chiếu của B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc giữa đường thẳng AB’ và mặt phẳng (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AB’ và AB, và bằng góc $\widehat{B^{‘}AB}$ (vì tam giác AB’B vuông tại B). Do đó $\widehat{B^{‘}AB}={60}^o.$
Trong tam giác vuông AB’B có $B{B}^{‘}=AB.\tan {60}^o=\frac{a\sqrt{3}}{2}\tan {60}^o=\frac{3a}{2}.$ 

Trong tam giác vuông AA’C có $A^{‘}C=\sqrt{A{A^{‘}}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}a\right)}^2}=\frac{\sqrt{21}}{2}a.$

Ta có $BC\perp AB$ và $BC\perp A{A}^{‘}$ nên $BC\perp \left(AB{B}^{‘}{A}^{‘}\right),$ suy ra $BC\perp A^{‘}B$ hay $\widehat{A^{‘}BC}={90}^o.$ Mà $\widehat{A^{‘}AC}={90}^o,$ suy ra hai điểm A, B cùng nhìn A’C dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC bằng $R=\frac{A^{‘}C}{2}=\frac{\sqrt{21}}{4}a.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====