Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng 24cm3. Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN. 

Câu hỏi:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, có thể tích bằng $24c{m}^3.$ Gọi E là trung điểm SC. Một mặt phẳng chứa AE cắt các cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN. 

A. $9c{m}^3.$

Đáp án chính xác

B. $8c{m}^3.$

C. $6c{m}^3.$

D. $7c{m}^3.$

Trả lời:

Mặt đáy ABCD là hình bình hành $\Rightarrow \Delta ADC$ và $\Delta ABC$ có cùng diện tích
$\Rightarrow V_{S.ADC}=V_{S.ABC}$ (hai khối chóp có cùng chiều cao và có diện tích mặt đáy bằng nhau).
Mà $V_{S.ABCD}=V_{S.ADC}+V_{S.ABC}=24c{m}^3\Rightarrow V_{S.ADC}=V_{S.ABC}=\frac{V_{S.ABCD}}{2}=\frac{24}{2}=12\left(c{m}^3\right).$
Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của SO và $AE\Rightarrow I$ là trọng tâm của $\Delta SAC$ và I thuộc MN. Gọi $\frac{SM}{SB}=a$ và $\frac{SN}{SD}=b\left(a>0;b>0\right).$
Ta có: $\frac{V_{S.ANE}}{V_{S.ADC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SN}{SD}.\frac{SE}{SC}=1.b.\frac{1}{2}=\frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S.AME}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SE}{SC}=1.a.\frac{1}{2}=\frac{a}{2}$
$\Rightarrow \frac{V_{S.ANE}}{12}=\frac{b}{2}$ và $\frac{V_{S.AME}}{12}=\frac{a}{2}\Rightarrow V_{S.ANE}=6b\left(c{m}^3\right)$ và $V_{S.AME}=6a\left(c{m}^3\right).$
Do đó: $V_{S.AMEN}=V_{S.AME}+V_{S.ANE}=6a+6b=6\left(a+b\right)\left(c{m}^3\right).$
Mặt khác: $\Delta ISM$ và $\Delta ISB$ có chung chiều cao kẻ từ I và có đáy $\frac{SM}{SB}=a\Rightarrow a=\frac{S_{ISM}}{S_{ISB}}.$
Mà I là trọng tâm của $\Delta SAC\Rightarrow \frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{S_{ISB}}{S_{SOB}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{S_{ISM}}{S_{SOB}}=\frac{2a}{3}.$
Chứng minh tương tự ta có: $\frac{S_{ISN}}{S_{SOD}}=\frac{2b}{3}.$
O là trung điểm của $DB\Rightarrow S_{SOB}=S_{SOD}=\frac{S_{SDB}}{2}$ hay $S_{SDB}=2S_{SOB}=2S_{SOD}$
$\Rightarrow \frac{2a}{3}+\frac{2b}{3}=\frac{S_{ISM}}{S_{SOB}}+\frac{S_{ISN}}{S_{SOD}}=\frac{2S_{ISM}}{2S_{SOB}}+\frac{2S_{ISN}}{2S_{SOD}}=\frac{2\left(S_{ISM}+S_{ISN}\right)}{S_{SDB}}=\frac{2S_{SNM}}{S_{SDB}}$
$\Rightarrow a+b=\frac{3S_{SNM}}{S_{SDB}}=\frac{3SN.SM.\sin \widehat{MSN}}{SD.SB.\sin \widehat{BSD}}=3.\frac{SN}{SD}.\frac{SM}{SB}=3ab.$
 
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow a+b=3ab\le \frac{3{\left(a+b\right)}^2}{4}$
$\Rightarrow 3\left(a+b\right)\ge 4$ (do $a+b>0)\Rightarrow a+b\ge \frac{4}{3}\Rightarrow 6\left(a+b\right)\ge 8$ hay $V_{S.AMEN}\ge 8\left(c{m}^3\right).$
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{2}{3}\iff \frac{SM}{SB}=\frac{SN}{SD}=\frac{2}{3}\iff MN$ đi qua I và MN//BD.
Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMEN là $8c{m}^3.$
Chọn A.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng −∞;+∞
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$

   A. $y={\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}\right)}^x.$

   B. $y={\left(\frac{2}{e}\right)}^x.$

   C. $y={\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^x.$

   D. $y={\left(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}\right)}^x.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hàm số $y=a^x$ đồng biến $\left(-\infty ;+\infty \right)$ khi a > 1. Ta có: $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3}>1$ nên chọn D.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a,BC=a,SA=a3 và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $AB=2a,BC=a,SA=a\sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

   A. $V=a^3\sqrt{3}.$

   B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

   C. $V=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$

   Đáp án chính xác

   D. $V=2a^3\sqrt{3}.$

   Trả lời:

   

   Ta có $B=S_{ABCD}=2a.a=2a^2.$
   Thể tích khối chóp S.ABCD là:
   $V=\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}2a^2.a\sqrt{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào trong các hàm số sau đây?
   

   A. $y=3x^2+2x+1$

   B. $y=x^3-3x^2+1$

   Đáp án chính xác

   C. $y=-\frac{x^3}{3}+x^2+1$

   D. $y=x^4+3x^2+1$

   Trả lời:

   Đồ thị có dạng trên là đồ thị hàm số bậc 3 ứng với hệ số a > 0.
   Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chọn khẳng định sai. Trong một khối đa diện

   A. mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh.

   B. mỗi cạnh của một khối đã diện là cạnh chung của đúng 2 mặt.

   C. mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất 3 mặt.

   D. hai mặt bất kì luôn có ít nhất một điểm chung.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Vì phát biểu D. Đúng là “hai mặt bất kỳ hoặc không có điểm chung hoặc có một đỉnh chung hoặc chỉ có một cạnh chung”.
   Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=x+1−3x+2 là?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{-3x+2}$ là?

   A. $x=\frac{2}{3}$

   B. $y=\frac{2}{3}$

   C. $y=-\frac{1}{3}$

   Đáp án chính xác

   D. $x=-\frac{1}{3}$

   Trả lời:

   Hàm số có tập xác định là $D=\left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)\cup \left(\frac{2}{3};+\infty \right).$
   Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{-3x+2}=-\frac{1}{3}.$
   Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-\frac{1}{3}.$
   Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====