Câu hỏi:
Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(\left( {{C_1}} \right)\): \(f\left( x \right) = x – \pi \), \(\left( {{C_2}} \right)\): \(g\left( x \right) = \sin x\) và \(x = 0\). Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành do \(\left( H \right)\) quay quanh trục hoành và \(V = p{\pi ^2}\), \(p \in \left( \mathbb{Q} \right)\). Giá trị của 24p bằng
A. 8.
Đáp án chính xác
B. 4.
C. 24.
D. 12.
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) là
\(x – \pi = \sin x \Leftrightarrow x – \pi – \sin x = 0\) \(\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(h\left( x \right) = x – \pi – \sin x \Rightarrow h’\left( x \right) = 1 – \cos x \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Suy ra \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và \(x = \pi \) là một nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) nên \(x = \pi \) là nghiệm duy nhất của phương trình \(\left( 1 \right)\).
Do đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là thể tích của khối nón khỉ quay tam giác vuông OAB quanh trục hoành.
\(V = \frac{1}{3}.\pi .O{B^2}.OA = \frac{1}{3}.\pi .{\pi ^2}.\pi = \frac{1}{3}{\pi ^4} \Rightarrow p = \frac{1}{3}\)
Vậy \(24p = 24.\frac{1}{3} = 8\).
Chọn A.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====