Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB=2, AC=4, SA=5.Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và $AB=2, AC=4, SA=\sqrt{5}.$Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán kính là

A. $R=\frac{25}{2}.$

B. $R=\frac{5}{2}.$

Đáp án chính xác

C. $R=5.$

D. $R=\frac{10}{3}.$

Trả lời:

Chọn B

Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC, SA
Ta có tam giác ABC vuông tại A suy ra A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua M kẻ đường thẳng d sao cho $d\perp \left(ABC\right)\Rightarrow d$ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực $\Delta$ của đoạn SA, cắt d tại I $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}IA=IB=IC\\ IA=IS\end{array}\right.\Rightarrow IA=IB=IC=IS$

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật.
Ta có 
$\begin{array}{l}AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{5},\\ IM=\frac{1}{2}SA=\frac{\sqrt{5}}{2}.\end{array}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là $R=AI=\sqrt{A{M}^2+I{M}^2}=\sqrt{5+\frac{5}{4}}=\frac{5}{2}.$
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====