Câu hỏi:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f’\left( x \right)\) như hình bên.
Đặt \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) – {\left( {x + 1} \right)^2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \(g\left( 3 \right) > g\left( { – 3} \right) > g\left( 1 \right)\) .
B. \(g\left( { – 3} \right) > g\left( 3 \right) > g\left( 1 \right)\).
C. \(g\left( 1 \right) > g\left( { – 3} \right) > g\left( 3 \right)\).
D. \(g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right) > g\left( { – 3} \right)\).
Đáp án chính xác
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Ta có \(g’\left( x \right) = 2f’\left( x \right) – 2\left( {x + 1} \right)\)
\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = x + 1\). Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f’\left( x \right)\) và đường thẳng d: \(y = x + 1\).
Dựa vào đồ thị ta thấy: \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( x \right) = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \pm 3\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên:
x
\( – \infty \)
–3
1
3
\( + \infty \)
\(g’\left( x \right)\)
–
0
+
0
–
0
+
\(g\left( x \right)\)
\( + \infty \)
\(g\left( { – 3} \right)\)
\(g\left( 1 \right)\)
\(g\left( 3 \right)\)
\( + \infty \)
Suy ra \(g\left( { – 3} \right) < g\left( 1 \right)\) và \(g\left( 3 \right) < g\left( 1 \right)\)
Gọi \({S_1}\), \({S_2}\) lần lượt là diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f’\left( x \right)\), đường thẳng d: \(y = x + 1\) trên các đoạn \(\left[ { – 3;1} \right]\) và \(\left[ {1;3} \right]\) ta có:
+) Trên đoạn \(\left[ { – 3;1} \right]\) ta có \(f’\left( x \right) \ge x + 1\) nên \({S_1} = \int\limits_{ – 3}^1 {\left| {g’\left( x \right)} \right|dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ – 3}^1 {\left[ {f’\left( x \right) – \left( {x + 1} \right)} \right]dx} \).
+) Trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\) ta có \(f’\left( x \right) \le x + 1\) nên \({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {g’\left( x \right)} \right|dx} = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left[ {\left( {x + 1} \right)f’\left( x \right)} \right]dx} \).
Dựa vào đồ thị ta thấy \({S_1} > {S_2}\) nên ta có:
\(g\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_{ – 3}\end{array} \right. > – g\left( x \right)\left| \begin{array}{l}^3\\_1\end{array} \right. \Leftrightarrow g\left( 1 \right) – g\left( { – 3} \right) > – g\left( 3 \right) + g\left( 1 \right) \Leftrightarrow g\left( 3 \right) > g\left( { – 3} \right)\).
Vậy \(g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right) > g\left( { – 3} \right)\).
Chọn D.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====