Cho hai số thực \(a,b > 1\) sao cho tồn tại số thực \(x\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_b}}}x = {b^{{{\log }_a}{x^2}}}\). Khi biểu thức \(P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b – \ln \left( {ab} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b\) thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu hỏi:

Cho hai số thực \(a,b > 1\) sao cho tồn tại số thực \(x\left( {x > 0,x \ne 1} \right)\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_b}}}x = {b^{{{\log }_a}{x^2}}}\). Khi biểu thức \(P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b – \ln \left( {ab} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(a + b\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {2;\frac{5}{2}} \right)\)               

B. \(\left( {3;\frac{7}{2}} \right)\)   

Đáp án chính xác

C. \(\left( {\frac{7}{2};4} \right)\)                                 

D. \(\left( {\frac{5}{2};3} \right)\)

Trả lời:

Đáp án B
Từ \({a^{{{\log }_b}x}} = {b^{{{\log }_a}{x^2}}} \Rightarrow {\log _a}\left( {{a^{{{\log }_b}x}}} \right) = {\log _a}\left( {{b^{{{\log }_a}{x^2}}}} \right)\)
\( \Rightarrow {\log _b}x = {\log _a}{x^2}.{\log _a}b = 2{\log _a}x.{\log _a}b \Rightarrow \frac{{\ln x}}{{\ln b}} = 2.\frac{{\ln x}}{{\ln a}}.\frac{{\ln b}}{{\ln a}} \Rightarrow {\left( {\ln a} \right)^2} = 2{\left( {\ln b} \right)^2}\)
Mà \(a,b > 1 \Rightarrow \ln a > 0;\ln b > 0 \Rightarrow \ln a = \sqrt 2 \ln b\)
\( \Rightarrow P = {\ln ^2}a + {\ln ^2}b – \ln a – \ln b = 3{\ln ^2}b – \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\ln b\)
$={\left(\sqrt{3}\ln b-\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)}^2-\left(\frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}\right)\ge -\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$
Dấu “=” xảy ra $\iff \ln b=\frac{1+\sqrt{2}}{6}\iff b=e^{\frac{1+\sqrt{2}}{6}}\Rightarrow \ln a=\frac{\sqrt{2}+2}{6}\Rightarrow a=e^{\frac{2+\sqrt{2}}{6}}$ Chọn B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _2}\left( {8a} \right)\) bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _2}\left( {8a} \right)\) bằng

   A. \(3 + {\log _2}a\)   

   Đáp án chính xác

   B. \(4 + {\log _2}a\)   

   C. \(8{\log _2}a\)       

   D. \(3{\log _2}a\)

   Trả lời:

   Đáp án A
   Ta có \({\log _2}\left( {8a} \right) = {\log _2}8 + {\log _2}a = 3 + {\log _2}a\). Chọn A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P:3x−4y+5z−2=0. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x-4y+5z-2=0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

   A. $\overrightarrow{n}=\left(-4;5;-2\right)$

   B. $\overrightarrow{n}=\left(3;-4;2\right)$

   C. $\overrightarrow{n}=\left(3;-5;-2\right)$

   D. $\overrightarrow{n}=\left(3;-4;5\right)$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Mặt phẳng $\left(P\right):3x-4y+5z-2=0$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(3;-4;5\right)$. Chọn D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Số phức \(z = 2 – 3i\) có phần ảo bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Số phức \(z = 2 – 3i\) có phần ảo bằng

   A. 2.                          

   B. \( – 3\)                    

   Đáp án chính xác

   C. \( – 2\)                   

   D. \( – 3i\)

   Trả lời:

   Đáp án B
   Số phức \(z = 2 – 3i\) có phần ảo bằng \( – 3\). Chọn B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_2} = 6,{u_5} = 21\). Tính d.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_2} = 6,{u_5} = 21\). Tính d.

   A. \(d = 3\)                

   B. \(d = 2\)                 

   C. \(d = 4\)                

   D. \(d = 5\)

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} = 6\\{u_5} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d = 6\\{u_1} + 4d = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 5\end{array} \right. \Rightarrow \)Chọn D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
   
   Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   A. \(\left( { – 7;25} \right)\)                         

   B. \(\left( { – \infty ; – 4} \right)\)    

   C. \(\left( { – 4;0} \right)\)              

   Đáp án chính xác

   D. \(\left( {0; + \infty } \right)\)

   Trả lời:

   Đáp án C
   Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { – 4;0} \right)\). Chọn C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====