Câu hỏi:
Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\). Tổng \(S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2019} \right)\) là
A. \(\frac{{2019}}{{2020}}\)
B. \(\frac{{2019.2021}}{{2020}}\)
C. \(2018\frac{1}{{2020}}\)
Đáp án chính xác
D. \( – \frac{{2019}}{{2020}}\)
Trả lời:
Hướng dẫn giải
Phân tích \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^4} + 2{x^3} + {x^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{x^2}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}\)
Khi đó \(F\left( x \right) = \int {\frac{{2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}dx} = \int {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} + x} \right)}^2}}}d\left( {{x^2} + x} \right)} = – \frac{1}{{{x^2} + x}} + C\).
Mặt khác \(F\left( 1 \right) = \frac{1}{2} \Rightarrow – \frac{1}{2} + C = \frac{1}{2} \Rightarrow C = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2} + x}} + 1 = – \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + 1 = – \left( {\frac{1}{x} – \frac{1}{{x + 1}}} \right) + 1\).
Do đó \(\begin{array}{l}S = F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right) + F\left( 3 \right) + … + F\left( {2019} \right) = – \left( {1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + … + \frac{1}{{2019}} – \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019\\\;\;\; = – \left( {1 – \frac{1}{{2020}}} \right) + 2019 = 2018 + \frac{1}{{2020}} = 2018\frac{1}{{2020}}\end{array}\)
Chọn C.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====